Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trfg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trfg 21505
 Description: The trace operation and the filGen operation are inverses to one another in some sense, with filGen growing the base set and ↾t shrinking it. See fgtr 21504 for the converse cancellation law. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
trfg ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝐴) = 𝐹)

Proof of Theorem trfg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 filfbas 21462 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝐴))
213ad2ant1 1075 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝐴))
3 filsspw 21465 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝐴)
433ad2ant1 1075 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝐴)
5 simp2 1055 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → 𝐴𝑋)
6 sspwb 4844 . . . . . . . 8 (𝐴𝑋 ↔ 𝒫 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋)
75, 6sylib 207 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → 𝒫 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋)
84, 7sstrd 3578 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
9 simp3 1056 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → 𝑋𝑉)
10 fbasweak 21479 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐴) ∧ 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋𝑉) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
112, 8, 9, 10syl3anc 1318 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
12 fgcl 21492 . . . . 5 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋))
1311, 12syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → (𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋))
14 filtop 21469 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) → 𝐴𝐹)
15143ad2ant1 1075 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → 𝐴𝐹)
16 restval 15910 . . . 4 (((𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) → ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝐴) = ran (𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↦ (𝑥𝐴)))
1713, 15, 16syl2anc 691 . . 3 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝐴) = ran (𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↦ (𝑥𝐴)))
18 elfg 21485 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ (𝑥𝑋 ∧ ∃𝑦𝐹 𝑦𝑥)))
1911, 18syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → (𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ (𝑥𝑋 ∧ ∃𝑦𝐹 𝑦𝑥)))
2019simplbda 652 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹)) → ∃𝑦𝐹 𝑦𝑥)
21 simpll1 1093 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹)) ∧ (𝑦𝐹𝑦𝑥)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝐴))
22 simprl 790 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹)) ∧ (𝑦𝐹𝑦𝑥)) → 𝑦𝐹)
23 inss2 3796 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴) ⊆ 𝐴
2423a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹)) ∧ (𝑦𝐹𝑦𝑥)) → (𝑥𝐴) ⊆ 𝐴)
25 simprr 792 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹)) ∧ (𝑦𝐹𝑦𝑥)) → 𝑦𝑥)
26 filelss 21466 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝑦𝐹) → 𝑦𝐴)
27263ad2antl1 1216 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑦𝐹) → 𝑦𝐴)
2827ad2ant2r 779 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹)) ∧ (𝑦𝐹𝑦𝑥)) → 𝑦𝐴)
2925, 28ssind 3799 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹)) ∧ (𝑦𝐹𝑦𝑥)) → 𝑦 ⊆ (𝑥𝐴))
30 filss 21467 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ (𝑦𝐹 ∧ (𝑥𝐴) ⊆ 𝐴𝑦 ⊆ (𝑥𝐴))) → (𝑥𝐴) ∈ 𝐹)
3121, 22, 24, 29, 30syl13anc 1320 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹)) ∧ (𝑦𝐹𝑦𝑥)) → (𝑥𝐴) ∈ 𝐹)
3220, 31rexlimddv 3017 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹)) → (𝑥𝐴) ∈ 𝐹)
33 eqid 2610 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↦ (𝑥𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↦ (𝑥𝐴))
3432, 33fmptd 6292 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → (𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↦ (𝑥𝐴)):(𝑋filGen𝐹)⟶𝐹)
35 frn 5966 . . . 4 ((𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↦ (𝑥𝐴)):(𝑋filGen𝐹)⟶𝐹 → ran (𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↦ (𝑥𝐴)) ⊆ 𝐹)
3634, 35syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → ran (𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↦ (𝑥𝐴)) ⊆ 𝐹)
3717, 36eqsstrd 3602 . 2 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝐴) ⊆ 𝐹)
38 filelss 21466 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝑥𝐹) → 𝑥𝐴)
39383ad2antl1 1216 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥𝐹) → 𝑥𝐴)
40 df-ss 3554 . . . . . 6 (𝑥𝐴 ↔ (𝑥𝐴) = 𝑥)
4139, 40sylib 207 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥𝐹) → (𝑥𝐴) = 𝑥)
4213adantr 480 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥𝐹) → (𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋))
4315adantr 480 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥𝐹) → 𝐴𝐹)
44 ssfg 21486 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝐹 ⊆ (𝑋filGen𝐹))
4511, 44syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → 𝐹 ⊆ (𝑋filGen𝐹))
4645sselda 3568 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥𝐹) → 𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹))
47 elrestr 15912 . . . . . 6 (((𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹)) → (𝑥𝐴) ∈ ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝐴))
4842, 43, 46, 47syl3anc 1318 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥𝐹) → (𝑥𝐴) ∈ ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝐴))
4941, 48eqeltrrd 2689 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥𝐹) → 𝑥 ∈ ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝐴))
5049ex 449 . . 3 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → (𝑥𝐹𝑥 ∈ ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝐴)))
5150ssrdv 3574 . 2 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → 𝐹 ⊆ ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝐴))
5237, 51eqssd 3585 1 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝐴) = 𝐹)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  𝒫 cpw 4108   ↦ cmpt 4643  ran crn 5039  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↾t crest 15904  fBascfbas 19555  filGencfg 19556  Filcfil 21459 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-rest 15906  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-fil 21460 This theorem is referenced by:  cmetss  22921  minveclem4a  23009
 Copyright terms: Public domain W3C validator