Theorem elfg 10284

Description: A condition for elements of a generated filter. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Sep-2009.)

Hypothesis

Ref	Expression
elfg.1	|- X = U.F

Assertion

Ref	Expression
elfg	|- (F e. fBas -> (A e. (filGen` F) <-> (A C_ X /\ E.x e. F x C_ A)))

Distinct variable groups:   x,A   x,F

Proof of Theorem elfg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfg.1	. . . 4 |- X = U.F
2	1	fgf 10283	. . 3 |- (F e. fBas -> (filGen` F) = {y e. ~PX | (F i^i ~Py) =/= (/)})
3	2	eleq2d 1964	. 2 |- (F e. fBas -> (A e. (filGen` F) <-> A e. {y e. ~PX | (F i^i ~Py) =/= (/)}))
4		uniexg 3795	. . . . . 6 |- (F e. fBas -> U.F e. _V)
5	4, 1	syl5eqel 1975	. . . . 5 |- (F e. fBas -> X e. _V)
6		elpw2g 3463	. . . . 5 |- (X e. _V -> (A e. ~PX <-> A C_ X))
7	5, 6	syl 12	. . . 4 |- (F e. fBas -> (A e. ~PX <-> A C_ X))
8		elin 2786	. . . . . . . 8 |- (x e. (F i^i ~PA) <-> (x e. F /\ x e. ~PA))
9		visset 2295	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
10	9	elpw 3037	. . . . . . . . 9 |- (x e. ~PA <-> x C_ A)
11	10	anbi2i 538	. . . . . . . 8 |- ((x e. F /\ x e. ~PA) <-> (x e. F /\ x C_ A))
12	8, 11	bitri 190	. . . . . . 7 |- (x e. (F i^i ~PA) <-> (x e. F /\ x C_ A))
13	12	exbii 1398	. . . . . 6 |- (E.x x e. (F i^i ~PA) <-> E.x(x e. F /\ x C_ A))
14		n0 2884	. . . . . 6 |- ((F i^i ~PA) =/= (/) <-> E.x x e. (F i^i ~PA))
15		df-rex 2110	. . . . . 6 |- (E.x e. F x C_ A <-> E.x(x e. F /\ x C_ A))
16	13, 14, 15	3bitr4i 200	. . . . 5 |- ((F i^i ~PA) =/= (/) <-> E.x e. F x C_ A)
17	16	a1i 8	. . . 4 |- (F e. fBas -> ((F i^i ~PA) =/= (/) <-> E.x e. F x C_ A))
18	7, 17	anbi12d 690	. . 3 |- (F e. fBas -> ((A e. ~PX /\ (F i^i ~PA) =/= (/)) <-> (A C_ X /\ E.x e. F x C_ A)))
19		pweq 3036	. . . . . 6 |- (y = A -> ~Py = ~PA)
20	19	ineq2d 2796	. . . . 5 |- (y = A -> (F i^i ~Py) = (F i^i ~PA))
21	20	neeq1d 2028	. . . 4 |- (y = A -> ((F i^i ~Py) =/= (/) <-> (F i^i ~PA) =/= (/)))
22	21	elrab 2414	. . 3 |- (A e. {y e. ~PX | (F i^i ~Py) =/= (/)} <-> (A e. ~PX /\ (F i^i ~PA) =/= (/)))
23	18, 22	syl5bb 591	. 2 |- (F e. fBas -> (A e. {y e. ~PX | (F i^i ~Py) =/= (/)} <-> (A C_ X /\ E.x e. F x C_ A)))
24	3, 23	bitrd 587	1 |- (F e. fBas -> (A e. (filGen` F) <-> (A C_ X /\ E.x e. F x C_ A)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326   =/= wne 2017  E.wrex 2106  {crab 2108  _Vcvv 2292   i^i cin 2592   C_ wss 2593  (/)c0 2875  ~Pcpw 3032  U.cuni 3177  ` cfv 3998  fBascfbas 10257  filGencfg 10258

This theorem is referenced by:  fbssfg 10285  fgbas 10286  fgss 10287  fbfgss 10288  fgid 10289  fgfil 10290  elfilmap 10312  elfilmap2 10313  elfilmap3 10314  fbaslim 10322  fgmin 15558  uffixfr 15575  cnpfillim 15589  flimfbas 15601  fclusbas 15610

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-fg 10260

Copyright terms: Public domain