Theorem ditgeq3 23420

Description: Equality theorem for the directed integral. (The domain of the equality here is very rough; for more precise bounds one should decompose it with ditgpos 23426 first and use the equality theorems for df-itg 23198.) (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ditgeq3	⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ 𝐷 = 𝐸 → ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 = ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐸 d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem ditgeq3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioossre 12106	. . . . 5 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
2		ssralv 3629	. . . . 5 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ 𝐷 = 𝐸 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐷 = 𝐸))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ 𝐷 = 𝐸 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐷 = 𝐸)
4		itgeq2 23350	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐷 = 𝐸 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)𝐸 d𝑥)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ 𝐷 = 𝐸 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)𝐸 d𝑥)
6		ioossre 12106	. . . . . 6 ⊢ (𝐵(,)𝐴) ⊆ ℝ
7		ssralv 3629	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵(,)𝐴) ⊆ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ 𝐷 = 𝐸 → ∀𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐴)𝐷 = 𝐸))
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ 𝐷 = 𝐸 → ∀𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐴)𝐷 = 𝐸)
9		itgeq2 23350	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐴)𝐷 = 𝐸 → ∫(𝐵(,)𝐴)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐴)𝐸 d𝑥)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ 𝐷 = 𝐸 → ∫(𝐵(,)𝐴)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐴)𝐸 d𝑥)
11	10	negeqd 10154	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ 𝐷 = 𝐸 → -∫(𝐵(,)𝐴)𝐷 d𝑥 = -∫(𝐵(,)𝐴)𝐸 d𝑥)
12	5, 11	ifeq12d 4056	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ 𝐷 = 𝐸 → if(𝐴 ≤ 𝐵, ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥, -∫(𝐵(,)𝐴)𝐷 d𝑥) = if(𝐴 ≤ 𝐵, ∫(𝐴(,)𝐵)𝐸 d𝑥, -∫(𝐵(,)𝐴)𝐸 d𝑥))
13		df-ditg 23417	. 2 ⊢ ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 = if(𝐴 ≤ 𝐵, ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥, -∫(𝐵(,)𝐴)𝐷 d𝑥)
14		df-ditg 23417	. 2 ⊢ ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐸 d𝑥 = if(𝐴 ≤ 𝐵, ∫(𝐴(,)𝐵)𝐸 d𝑥, -∫(𝐵(,)𝐴)𝐸 d𝑥)
15	12, 13, 14	3eqtr4g 2669	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ 𝐷 = 𝐸 → ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 = ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐸 d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475  ∀wral 2896   ⊆ wss 3540  ifcif 4036   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝcr 9814   ≤ cle 9954  -cneg 10146  (,)cioo 12046  ∫citg 23193  ⨜cdit 23416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-ioo 12050  df-fz 12198  df-seq 12664  df-sum 14265  df-itg 23198  df-ditg 23417

This theorem is referenced by:  ditgeq3dv  23421