MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ditgeq3 Structured version   Unicode version

Theorem ditgeq3 21989
Description: Equality theorem for the directed integral. (The domain of the equality here is very rough; for more precise bounds one should decompose it with ditgpos 21995 first and use the equality theorems for df-itg 21767.) (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
ditgeq3  |-  ( A. x  e.  RR  D  =  E  ->  S__ [ A  ->  B ] D  _d x  =  S__ [ A  ->  B ] E  _d x )
Distinct variable groups:    x, A    x, B
Allowed substitution hints:    D( x)    E( x)

Proof of Theorem ditgeq3
StepHypRef Expression
1 ioossre 11582 . . . . 5  |-  ( A (,) B )  C_  RR
2 ssralv 3564 . . . . 5  |-  ( ( A (,) B ) 
C_  RR  ->  ( A. x  e.  RR  D  =  E  ->  A. x  e.  ( A (,) B
) D  =  E ) )
31, 2ax-mp 5 . . . 4  |-  ( A. x  e.  RR  D  =  E  ->  A. x  e.  ( A (,) B
) D  =  E )
4 itgeq2 21919 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ( A (,) B ) D  =  E  ->  S. ( A (,) B ) D  _d x  =  S. ( A (,) B
) E  _d x )
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( A. x  e.  RR  D  =  E  ->  S. ( A (,) B ) D  _d x  =  S. ( A (,) B ) E  _d x )
6 ioossre 11582 . . . . . 6  |-  ( B (,) A )  C_  RR
7 ssralv 3564 . . . . . 6  |-  ( ( B (,) A ) 
C_  RR  ->  ( A. x  e.  RR  D  =  E  ->  A. x  e.  ( B (,) A
) D  =  E ) )
86, 7ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  RR  D  =  E  ->  A. x  e.  ( B (,) A
) D  =  E )
9 itgeq2 21919 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( B (,) A ) D  =  E  ->  S. ( B (,) A ) D  _d x  =  S. ( B (,) A
) E  _d x )
108, 9syl 16 . . . 4  |-  ( A. x  e.  RR  D  =  E  ->  S. ( B (,) A ) D  _d x  =  S. ( B (,) A ) E  _d x )
1110negeqd 9810 . . 3  |-  ( A. x  e.  RR  D  =  E  ->  -u S. ( B (,) A ) D  _d x  = 
-u S. ( B (,) A ) E  _d x )
125, 11ifeq12d 3959 . 2  |-  ( A. x  e.  RR  D  =  E  ->  if ( A  <_  B ,  S. ( A (,) B
) D  _d x ,  -u S. ( B (,) A ) D  _d x )  =  if ( A  <_  B ,  S. ( A (,) B ) E  _d x ,  -u S. ( B (,) A
) E  _d x ) )
13 df-ditg 21986 . 2  |-  S__ [ A  ->  B ] D  _d x  =  if ( A  <_  B ,  S. ( A (,) B
) D  _d x ,  -u S. ( B (,) A ) D  _d x )
14 df-ditg 21986 . 2  |-  S__ [ A  ->  B ] E  _d x  =  if ( A  <_  B ,  S. ( A (,) B
) E  _d x ,  -u S. ( B (,) A ) E  _d x )
1512, 13, 143eqtr4g 2533 1  |-  ( A. x  e.  RR  D  =  E  ->  S__ [ A  ->  B ] D  _d x  =  S__ [ A  ->  B ] E  _d x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379   A.wral 2814    C_ wss 3476   ifcif 3939   class class class wbr 4447  (class class class)co 6282   RRcr 9487    <_ cle 9625   -ucneg 9802   (,)cioo 11525   S.citg 21762   S__cdit 21985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-ioo 11529  df-fz 11669  df-seq 12072  df-sum 13468  df-itg 21767  df-ditg 21986
This theorem is referenced by:  ditgeq3dv  21990
  Copyright terms: Public domain W3C validator