MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ditgeq3 Structured version   Unicode version

Theorem ditgeq3 21330
Description: Equality theorem for the directed integral. (The domain of the equality here is very rough; for more precise bounds one should decompose it with ditgpos 21336 first and use the equality theorems for df-itg 21108.) (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
ditgeq3  |-  ( A. x  e.  RR  D  =  E  ->  S__ [ A  ->  B ] D  _d x  =  S__ [ A  ->  B ] E  _d x )
Distinct variable groups:    x, A    x, B
Allowed substitution hints:    D( x)    E( x)

Proof of Theorem ditgeq3
StepHypRef Expression
1 ioossre 11362 . . . . 5  |-  ( A (,) B )  C_  RR
2 ssralv 3421 . . . . 5  |-  ( ( A (,) B ) 
C_  RR  ->  ( A. x  e.  RR  D  =  E  ->  A. x  e.  ( A (,) B
) D  =  E ) )
31, 2ax-mp 5 . . . 4  |-  ( A. x  e.  RR  D  =  E  ->  A. x  e.  ( A (,) B
) D  =  E )
4 itgeq2 21260 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ( A (,) B ) D  =  E  ->  S. ( A (,) B ) D  _d x  =  S. ( A (,) B
) E  _d x )
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( A. x  e.  RR  D  =  E  ->  S. ( A (,) B ) D  _d x  =  S. ( A (,) B ) E  _d x )
6 ioossre 11362 . . . . . 6  |-  ( B (,) A )  C_  RR
7 ssralv 3421 . . . . . 6  |-  ( ( B (,) A ) 
C_  RR  ->  ( A. x  e.  RR  D  =  E  ->  A. x  e.  ( B (,) A
) D  =  E ) )
86, 7ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  RR  D  =  E  ->  A. x  e.  ( B (,) A
) D  =  E )
9 itgeq2 21260 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( B (,) A ) D  =  E  ->  S. ( B (,) A ) D  _d x  =  S. ( B (,) A
) E  _d x )
108, 9syl 16 . . . 4  |-  ( A. x  e.  RR  D  =  E  ->  S. ( B (,) A ) D  _d x  =  S. ( B (,) A ) E  _d x )
1110negeqd 9609 . . 3  |-  ( A. x  e.  RR  D  =  E  ->  -u S. ( B (,) A ) D  _d x  = 
-u S. ( B (,) A ) E  _d x )
125, 11ifeq12d 3814 . 2  |-  ( A. x  e.  RR  D  =  E  ->  if ( A  <_  B ,  S. ( A (,) B
) D  _d x ,  -u S. ( B (,) A ) D  _d x )  =  if ( A  <_  B ,  S. ( A (,) B ) E  _d x ,  -u S. ( B (,) A
) E  _d x ) )
13 df-ditg 21327 . 2  |-  S__ [ A  ->  B ] D  _d x  =  if ( A  <_  B ,  S. ( A (,) B
) D  _d x ,  -u S. ( B (,) A ) D  _d x )
14 df-ditg 21327 . 2  |-  S__ [ A  ->  B ] E  _d x  =  if ( A  <_  B ,  S. ( A (,) B
) E  _d x ,  -u S. ( B (,) A ) E  _d x )
1512, 13, 143eqtr4g 2500 1  |-  ( A. x  e.  RR  D  =  E  ->  S__ [ A  ->  B ] D  _d x  =  S__ [ A  ->  B ] E  _d x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369   A.wral 2720    C_ wss 3333   ifcif 3796   class class class wbr 4297  (class class class)co 6096   RRcr 9286    <_ cle 9424   -ucneg 9601   (,)cioo 11305   S.citg 21103   S__cdit 21326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-ioo 11309  df-fz 11443  df-seq 11812  df-sum 13169  df-itg 21108  df-ditg 21327
This theorem is referenced by:  ditgeq3dv  21331
  Copyright terms: Public domain W3C validator