Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crngunit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem crngunit 18485
 Description: Property of being a unit in a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
crngunit.1 𝑈 = (Unit‘𝑅)
crngunit.2 1 = (1r𝑅)
crngunit.3 = (∥r𝑅)
Assertion
Ref Expression
crngunit (𝑅 ∈ CRing → (𝑋𝑈𝑋 1 ))

Proof of Theorem crngunit
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑅) = (.r𝑅)
3 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
4 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (.r‘(oppr𝑅)) = (.r‘(oppr𝑅))
51, 2, 3, 4crngoppr 18450 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(.r𝑅)𝑋) = (𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑋))
653expa 1257 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(.r𝑅)𝑋) = (𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑋))
76eqcomd 2616 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑋) = (𝑦(.r𝑅)𝑋))
87an32s 842 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑋) = (𝑦(.r𝑅)𝑋))
98eqeq1d 2612 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑋) = 1 ↔ (𝑦(.r𝑅)𝑋) = 1 ))
109rexbidva 3031 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑋) = 1 ↔ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑋) = 1 ))
1110pm5.32da 671 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → ((𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑋) = 1 ) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑋) = 1 )))
123, 1opprbas 18452 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr𝑅))
13 eqid 2610 . . . . 5 (∥r‘(oppr𝑅)) = (∥r‘(oppr𝑅))
1412, 13, 4dvdsr 18469 . . . 4 (𝑋(∥r‘(oppr𝑅)) 1 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑋) = 1 ))
15 crngunit.3 . . . . 5 = (∥r𝑅)
161, 15, 2dvdsr 18469 . . . 4 (𝑋 1 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑋) = 1 ))
1711, 14, 163bitr4g 302 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → (𝑋(∥r‘(oppr𝑅)) 1𝑋 1 ))
1817anbi2d 736 . 2 (𝑅 ∈ CRing → ((𝑋 1𝑋(∥r‘(oppr𝑅)) 1 ) ↔ (𝑋 1𝑋 1 )))
19 crngunit.1 . . 3 𝑈 = (Unit‘𝑅)
20 crngunit.2 . . 3 1 = (1r𝑅)
2119, 20, 15, 3, 13isunit 18480 . 2 (𝑋𝑈 ↔ (𝑋 1𝑋(∥r‘(oppr𝑅)) 1 ))
22 pm4.24 673 . 2 (𝑋 1 ↔ (𝑋 1𝑋 1 ))
2318, 21, 223bitr4g 302 1 (𝑅 ∈ CRing → (𝑋𝑈𝑋 1 ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  .rcmulr 15769  1rcur 18324  CRingccrg 18371  opprcoppr 18445  ∥rcdsr 18461  Unitcui 18462 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-cmn 18018  df-mgp 18313  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465 This theorem is referenced by:  dvdsunit  18486  znunit  19731  matunitlindflem2  32576
 Copyright terms: Public domain W3C validator