Theorem clwlkfclwwlk2wrd 26367

Description: The second component of a closed walk is a word over the "vertices". (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Jun-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
clwlkfclwwlk.1	⊢ 𝐴 = (1st ‘𝑐)
clwlkfclwwlk.2	⊢ 𝐵 = (2nd ‘𝑐)
clwlkfclwwlk.c	⊢ 𝐶 = {𝑐 ∈ (𝑉 ClWalks 𝐸) ∣ (#‘𝐴) = 𝑁}
clwlkfclwwlk.f	⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝐶 ↦ (𝐵 substr ⟨0, (#‘𝐴)⟩))

Assertion

Ref	Expression
clwlkfclwwlk2wrd	⊢ (𝑐 ∈ 𝐶 → 𝐵 ∈ Word 𝑉)

Proof of Theorem clwlkfclwwlk2wrd

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwlkfclwwlk.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = {𝑐 ∈ (𝑉 ClWalks 𝐸) ∣ (#‘𝐴) = 𝑁}
2	1	rabeq2i 3170	. 2 ⊢ (𝑐 ∈ 𝐶 ↔ (𝑐 ∈ (𝑉 ClWalks 𝐸) ∧ (#‘𝐴) = 𝑁))
3		clwlkfclwwlk.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (1st ‘𝑐)
4		clwlkfclwwlk.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (2nd ‘𝑐)
5	3, 4	clwlkcompim 26292	. . . 4 ⊢ (𝑐 ∈ (𝑉 ClWalks 𝐸) → ((𝐴 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝐵:(0...(#‘𝐴))⟶𝑉) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))(𝐸‘(𝐴‘𝑖)) = {(𝐵‘𝑖), (𝐵‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝐵‘0) = (𝐵‘(#‘𝐴)))))
6		lencl 13179	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Word dom 𝐸 → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
7		nn0z 11277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘𝐴) ∈ ℕ0 → (#‘𝐴) ∈ ℤ)
8		fzval3 12404	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘𝐴) ∈ ℤ → (0...(#‘𝐴)) = (0..^((#‘𝐴) + 1)))
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝐴) ∈ ℕ0 → (0...(#‘𝐴)) = (0..^((#‘𝐴) + 1)))
10	9	feq2d 5944	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘𝐴) ∈ ℕ0 → (𝐵:(0...(#‘𝐴))⟶𝑉 ↔ 𝐵:(0..^((#‘𝐴) + 1))⟶𝑉))
11	10	biimpa 500	. . . . . . 7 ⊢ (((#‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ 𝐵:(0...(#‘𝐴))⟶𝑉) → 𝐵:(0..^((#‘𝐴) + 1))⟶𝑉)
12		iswrdi 13164	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵:(0..^((#‘𝐴) + 1))⟶𝑉 → 𝐵 ∈ Word 𝑉)
13	11, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((#‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ 𝐵:(0...(#‘𝐴))⟶𝑉) → 𝐵 ∈ Word 𝑉)
14	6, 13	sylan 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝐵:(0...(#‘𝐴))⟶𝑉) → 𝐵 ∈ Word 𝑉)
15	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝐵:(0...(#‘𝐴))⟶𝑉) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))(𝐸‘(𝐴‘𝑖)) = {(𝐵‘𝑖), (𝐵‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝐵‘0) = (𝐵‘(#‘𝐴)))) → 𝐵 ∈ Word 𝑉)
16	5, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑐 ∈ (𝑉 ClWalks 𝐸) → 𝐵 ∈ Word 𝑉)
17	16	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑐 ∈ (𝑉 ClWalks 𝐸) ∧ (#‘𝐴) = 𝑁) → 𝐵 ∈ Word 𝑉)
18	2, 17	sylbi 206	1 ⊢ (𝑐 ∈ 𝐶 → 𝐵 ∈ Word 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  {crab 2900  {cpr 4127  ⟨cop 4131   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1^st c1st 7057  2^nd c2nd 7058  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   substr csubstr 13150   ClWalks cclwlk 26275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-wlk 26036  df-clwlk 26278

This theorem is referenced by:  clwlkfclwwlk2sswd  26370  clwlkfclwwlk  26371