Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clmvscom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clmvscom 22698
 Description: Commutative law for the scalar product. (Contributed by NM, 14-Feb-2008.) (Revised by AV, 7-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
clmvscl.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmvscl.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
clmvscl.s · = ( ·𝑠𝑊)
clmvscl.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
clmvscom ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑄𝐾𝑅𝐾𝑋𝑉)) → (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)) = (𝑅 · (𝑄 · 𝑋)))

Proof of Theorem clmvscom
StepHypRef Expression
1 clmvscl.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2 clmvscl.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (Base‘𝐹)
31, 2clmsscn 22687 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ⊆ ℂ)
4 ssel 3562 . . . . . . . . 9 (𝐾 ⊆ ℂ → (𝑄𝐾𝑄 ∈ ℂ))
5 ssel 3562 . . . . . . . . 9 (𝐾 ⊆ ℂ → (𝑅𝐾𝑅 ∈ ℂ))
64, 5anim12d 584 . . . . . . . 8 (𝐾 ⊆ ℂ → ((𝑄𝐾𝑅𝐾) → (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ)))
73, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂMod → ((𝑄𝐾𝑅𝐾) → (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ)))
87com12 32 . . . . . 6 ((𝑄𝐾𝑅𝐾) → (𝑊 ∈ ℂMod → (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ)))
983adant3 1074 . . . . 5 ((𝑄𝐾𝑅𝐾𝑋𝑉) → (𝑊 ∈ ℂMod → (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ)))
109impcom 445 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑄𝐾𝑅𝐾𝑋𝑉)) → (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ))
11 mulcom 9901 . . . 4 ((𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (𝑄 · 𝑅) = (𝑅 · 𝑄))
1210, 11syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑄𝐾𝑅𝐾𝑋𝑉)) → (𝑄 · 𝑅) = (𝑅 · 𝑄))
1312oveq1d 6564 . 2 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑄𝐾𝑅𝐾𝑋𝑉)) → ((𝑄 · 𝑅) · 𝑋) = ((𝑅 · 𝑄) · 𝑋))
14 clmvscl.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
15 clmvscl.s . . 3 · = ( ·𝑠𝑊)
1614, 1, 15, 2clmvsass 22697 . 2 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑄𝐾𝑅𝐾𝑋𝑉)) → ((𝑄 · 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)))
17 3ancoma 1038 . . 3 ((𝑄𝐾𝑅𝐾𝑋𝑉) ↔ (𝑅𝐾𝑄𝐾𝑋𝑉))
1814, 1, 15, 2clmvsass 22697 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑅𝐾𝑄𝐾𝑋𝑉)) → ((𝑅 · 𝑄) · 𝑋) = (𝑅 · (𝑄 · 𝑋)))
1917, 18sylan2b 491 . 2 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑄𝐾𝑅𝐾𝑋𝑉)) → ((𝑅 · 𝑄) · 𝑋) = (𝑅 · (𝑄 · 𝑋)))
2013, 16, 193eqtr3d 2652 1 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑄𝐾𝑅𝐾𝑋𝑉)) → (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)) = (𝑅 · (𝑄 · 𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813   · cmul 9820  Basecbs 15695  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  ℂModcclm 22670 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-cnfld 19568  df-clm 22671 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator