Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clmpm1dir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clmpm1dir 22711
 Description: Subtractive distributive law for the scalar product of a complex left module. (Contributed by NM, 31-Jul-2007.) (Revised by AV, 21-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
clmpm1dir.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmpm1dir.s · = ( ·𝑠𝑊)
clmpm1dir.a + = (+g𝑊)
clmpm1dir.k 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑊))
Assertion
Ref Expression
clmpm1dir ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐶𝑉)) → ((𝐴𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) + (-1 · (𝐵 · 𝐶))))

Proof of Theorem clmpm1dir
StepHypRef Expression
1 clmpm1dir.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 clmpm1dir.s . . 3 · = ( ·𝑠𝑊)
3 eqid 2610 . . 3 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4 clmpm1dir.k . . 3 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑊))
5 eqid 2610 . . 3 (-g𝑊) = (-g𝑊)
6 simpl 472 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐶𝑉)) → 𝑊 ∈ ℂMod)
7 simpr1 1060 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐶𝑉)) → 𝐴𝐾)
8 simpr2 1061 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐶𝑉)) → 𝐵𝐾)
9 simpr3 1062 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐶𝑉)) → 𝐶𝑉)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9clmsubdir 22710 . 2 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐶𝑉)) → ((𝐴𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶)(-g𝑊)(𝐵 · 𝐶)))
111, 3, 2, 4clmvscl 22696 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝐾𝐶𝑉) → (𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑉)
126, 7, 9, 11syl3anc 1318 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐶𝑉)) → (𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑉)
131, 3, 2, 4clmvscl 22696 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝐾𝐶𝑉) → (𝐵 · 𝐶) ∈ 𝑉)
146, 8, 9, 13syl3anc 1318 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐶𝑉)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ 𝑉)
15 clmpm1dir.a . . . 4 + = (+g𝑊)
16 eqid 2610 . . . 4 (invg𝑊) = (invg𝑊)
171, 15, 16, 5grpsubval 17288 . . 3 (((𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑉 ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ 𝑉) → ((𝐴 · 𝐶)(-g𝑊)(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐶) + ((invg𝑊)‘(𝐵 · 𝐶))))
1812, 14, 17syl2anc 691 . 2 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐶𝑉)) → ((𝐴 · 𝐶)(-g𝑊)(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐶) + ((invg𝑊)‘(𝐵 · 𝐶))))
191, 16, 3, 2clmvneg1 22707 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ 𝑉) → (-1 · (𝐵 · 𝐶)) = ((invg𝑊)‘(𝐵 · 𝐶)))
2019eqcomd 2616 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ 𝑉) → ((invg𝑊)‘(𝐵 · 𝐶)) = (-1 · (𝐵 · 𝐶)))
216, 14, 20syl2anc 691 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐶𝑉)) → ((invg𝑊)‘(𝐵 · 𝐶)) = (-1 · (𝐵 · 𝐶)))
2221oveq2d 6565 . 2 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐶𝑉)) → ((𝐴 · 𝐶) + ((invg𝑊)‘(𝐵 · 𝐶))) = ((𝐴 · 𝐶) + (-1 · (𝐵 · 𝐶))))
2310, 18, 223eqtrd 2648 1 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐶𝑉)) → ((𝐴𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) + (-1 · (𝐵 · 𝐶))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1c1 9816   − cmin 10145  -cneg 10146  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  invgcminusg 17246  -gcsg 17247  ℂModcclm 22670 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-seq 12664  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-cmn 18018  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-cnfld 19568  df-clm 22671 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator