bcseqi - Hilbert Space Explorer

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Theorem bcseqi 27361

Description: Equality case of Bunjakovaskij-Cauchy-Schwarz inequality. Specifically, in the equality case the two vectors are collinear. Compare bcsiHIL 27421. (Contributed by NM, 16-Jul-2001.) (New usage is discouraged.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
normlem7t.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
normlem7t.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

**Assertion**
Ref	Expression
bcseqi	⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) ↔ ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))

**Proof of Theorem bcseqi**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		normlem7t.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
2	1, 1	hicli 27322	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ·_ih 𝐵) ∈ ℂ
3		normlem7t.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
4	2, 3	hvmulcli 27255	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ∈ ℋ
5	3, 1	hicli 27322	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ·_ih 𝐵) ∈ ℂ
6	5, 1	hvmulcli 27255	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ∈ ℋ
7	4, 6, 4, 6	normlem9 27359	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))) = (((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))) − ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴))))
8		oveq1 6556	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) → (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) = (((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) · (𝐵 ·_ih 𝐵)))
9	8	eqcomd 2616	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) → (((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) = (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) · (𝐵 ·_ih 𝐵)))
10		his5 27327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) = ((∗‘(𝐵 ·_ih 𝐵)) · (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐴)))
11	2, 4, 3, 10	mp3an 1416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) = ((∗‘(𝐵 ·_ih 𝐵)) · (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐴))
12		hiidrcl 27336	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐵 ·_ih 𝐵) ∈ ℝ)
13		cjre 13727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐵) ∈ ℝ → (∗‘(𝐵 ·_ih 𝐵)) = (𝐵 ·_ih 𝐵))
14	1, 12, 13	mp2b 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∗‘(𝐵 ·_ih 𝐵)) = (𝐵 ·_ih 𝐵)
15		ax-his3 27325	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐴) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐴)))
16	2, 3, 3, 15	mp3an 1416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐴) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐴))
17	14, 16	oveq12i 6561	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∗‘(𝐵 ·_ih 𝐵)) · (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐴)) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐴)))
18	3, 3	hicli 27322	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ·_ih 𝐴) ∈ ℂ
19	2, 18	mulcli 9924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐴)) ∈ ℂ
20	2, 19	mulcomi 9925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐵) · ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐴))) = (((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐴)) · (𝐵 ·_ih 𝐵))
21	18, 2	mulcomi 9925	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐴))
22	21	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) = (((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐴)) · (𝐵 ·_ih 𝐵))
23	20, 22	eqtr4i 2635	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐵) · ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐴))) = (((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) · (𝐵 ·_ih 𝐵))
24	11, 17, 23	3eqtri 2636	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) = (((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) · (𝐵 ·_ih 𝐵))
25		his5 27327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = ((∗‘(𝐴 ·_ih 𝐵)) · (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐵)))
26	5, 4, 1, 25	mp3an 1416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = ((∗‘(𝐴 ·_ih 𝐵)) · (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐵))
27	1, 3	his1i 27341	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ·_ih 𝐴) = (∗‘(𝐴 ·_ih 𝐵))
28	27	eqcomi 2619	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∗‘(𝐴 ·_ih 𝐵)) = (𝐵 ·_ih 𝐴)
29		ax-his3 27325	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐵) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐵)))
30	2, 3, 1, 29	mp3an 1416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐵) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐵))
31	28, 30	oveq12i 6561	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∗‘(𝐴 ·_ih 𝐵)) · (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐵)) = ((𝐵 ·_ih 𝐴) · ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐵)))
32	1, 3	hicli 27322	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ·_ih 𝐴) ∈ ℂ
33	2, 5	mulcli 9924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐵)) ∈ ℂ
34	32, 33	mulcomi 9925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐴) · ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐵))) = (((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐵)) · (𝐵 ·_ih 𝐴))
35	2, 5, 32	mulassi 9928	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐵)) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)))
36	5, 32	mulcli 9924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) ∈ ℂ
37	2, 36	mulcomi 9925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐵) · ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴))) = (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) · (𝐵 ·_ih 𝐵))
38	34, 35, 37	3eqtri 2636	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐴) · ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐵))) = (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) · (𝐵 ·_ih 𝐵))
39	26, 31, 38	3eqtri 2636	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) · (𝐵 ·_ih 𝐵))
40	9, 24, 39	3eqtr4g 2669	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) → (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) = (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)))
41		ax-his3 27325	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐴) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)))
42	5, 1, 3, 41	mp3an 1416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐴) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴))
43	14, 42	oveq12i 6561	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∗‘(𝐵 ·_ih 𝐵)) · (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐴)) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)))
44		his5 27327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) = ((∗‘(𝐵 ·_ih 𝐵)) · (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐴)))
45	2, 6, 3, 44	mp3an 1416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) = ((∗‘(𝐵 ·_ih 𝐵)) · (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐴))
46		his5 27327	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = ((∗‘(𝐴 ·_ih 𝐵)) · (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐵)))
47	5, 6, 1, 46	mp3an 1416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = ((∗‘(𝐴 ·_ih 𝐵)) · (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐵))
48		ax-his3 27325	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐵) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐵)))
49	5, 1, 1, 48	mp3an 1416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐵) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐵))
50	28, 49	oveq12i 6561	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∗‘(𝐴 ·_ih 𝐵)) · (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐵)) = ((𝐵 ·_ih 𝐴) · ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐵)))
51	5, 2	mulcli 9924	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) ∈ ℂ
52	32, 51	mulcomi 9925	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐴) · ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐵))) = (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) · (𝐵 ·_ih 𝐴))
53	5, 2, 32	mul32i 10111	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) · (𝐵 ·_ih 𝐵))
54	36, 2	mulcomi 9925	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)))
55	52, 53, 54	3eqtri 2636	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐴) · ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐵))) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)))
56	47, 50, 55	3eqtri 2636	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)))
57	43, 45, 56	3eqtr4ri 2643	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴))
58	57	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) → (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)))
59	40, 58	oveq12d 6567	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) → ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))) = ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴))))
60	59	oveq1d 6564	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) → (((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))) − ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)))) = (((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴))) − ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)))))
61	4, 6	hicli 27322	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) ∈ ℂ
62	6, 4	hicli 27322	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) ∈ ℂ
63	61, 62	addcli 9923	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴))) ∈ ℂ
64	63	subidi 10231	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴))) − ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)))) = 0
65	60, 64	syl6eq 2660	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) → (((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))) − ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)))) = 0)
66	7, 65	syl5eq 2656	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) → ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))) = 0)
67	4, 6	hvsubcli 27262	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) ∈ ℋ
68		his6 27340	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) ∈ ℋ → (((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))) = 0 ↔ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = 0_ℎ))
69	67, 68	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))) = 0 ↔ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = 0_ℎ)
70	66, 69	sylib 207	. . 3 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) → (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = 0_ℎ)
71	4, 6	hvsubeq0i 27304	. . 3 ⊢ ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = 0_ℎ ↔ ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))
72	70, 71	sylib 207	. 2 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) → ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))
73		oveq1 6556	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) → (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐴) = (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐴))
74	21, 16	eqtr4i 2635	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) = (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐴)
75	42	eqcomi 2619	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐴)
76	73, 74, 75	3eqtr4g 2669	. . 3 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) → ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)))
77	76	eqcomd 2616	. 2 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) → ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)))
78	72, 77	impbii 198	1 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) ↔ ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ↔ wb 195 = wceq 1475 ∈ wcel 1977 ‘cfv 5804 (class class class)co 6549 ℂcc 9813 ℝcr 9814 0cc0 9815 + caddc 9818 · cmul 9820 − cmin 10145 ∗ccj 13684 ℋchil 27160 ·_ℎ csm 27162 ·_ih csp 27163 0_ℎc0v 27165 −_ℎ cmv 27166

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1713 ax-4 1728 ax-5 1827 ax-6 1875 ax-7 1922 ax-8 1979 ax-9 1986 ax-10 2006 ax-11 2021 ax-12 2034 ax-13 2234 ax-ext 2590 ax-sep 4709 ax-nul 4717 ax-pow 4769 ax-pr 4833 ax-un 6847 ax-resscn 9872 ax-1cn 9873 ax-icn 9874 ax-addcl 9875 ax-addrcl 9876 ax-mulcl 9877 ax-mulrcl 9878 ax-mulcom 9879 ax-addass 9880 ax-mulass 9881 ax-distr 9882 ax-i2m1 9883 ax-1ne0 9884 ax-1rid 9885 ax-rnegex 9886 ax-rrecex 9887 ax-cnre 9888 ax-pre-lttri 9889 ax-pre-lttrn 9890 ax-pre-ltadd 9891 ax-pre-mulgt0 9892 ax-hfvadd 27241 ax-hvcom 27242 ax-hvass 27243 ax-hv0cl 27244 ax-hvaddid 27245 ax-hfvmul 27246 ax-hvmulid 27247 ax-hvdistr2 27250 ax-hvmul0 27251 ax-hfi 27320 ax-his1 27323 ax-his2 27324 ax-his3 27325 ax-his4 27326

This theorem depends on definitions: df-bi 196 df-or 384 df-an 385 df-3or 1032 df-3an 1033 df-tru 1478 df-ex 1696 df-nf 1701 df-sb 1868 df-eu 2462 df-mo 2463 df-clab 2597 df-cleq 2603 df-clel 2606 df-nfc 2740 df-ne 2782 df-nel 2783 df-ral 2901 df-rex 2902 df-reu 2903 df-rmo 2904 df-rab 2905 df-v 3175 df-sbc 3403 df-csb 3500 df-dif 3543 df-un 3545 df-in 3547 df-ss 3554 df-nul 3875 df-if 4037 df-pw 4110 df-sn 4126 df-pr 4128 df-op 4132 df-uni 4373 df-iun 4457 df-br 4584 df-opab 4644 df-mpt 4645 df-id 4953 df-po 4959 df-so 4960 df-xp 5044 df-rel 5045 df-cnv 5046 df-co 5047 df-dm 5048 df-rn 5049 df-res 5050 df-ima 5051 df-iota 5768 df-fun 5806 df-fn 5807 df-f 5808 df-f1 5809 df-fo 5810 df-f1o 5811 df-fv 5812 df-riota 6511 df-ov 6552 df-oprab 6553 df-mpt2 6554 df-er 7629 df-en 7842 df-dom 7843 df-sdom 7844 df-pnf 9955 df-mnf 9956 df-xr 9957 df-ltxr 9958 df-le 9959 df-sub 10147 df-neg 10148 df-div 10564 df-2 10956 df-cj 13687 df-re 13688 df-im 13689 df-hvsub 27212

This theorem is referenced by: h1de2i 27796

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