Theorem bcseqi 10619

Description: Equality case of Bunjakovaskij-Cauchy-Schwarz inequality. Specifically, in the equality case the two vectors are collinear. Compare bcsiHIL 10680.

Hypotheses

Ref	Expression
normlem7t.1	|- A e. ~H
normlem7t.2	|- B e. ~H

Assertion

Ref	Expression
bcseqi	|- (((A .ih B) x. (B .ih A)) = ((A .ih A) x. (B .ih B)) <-> ((B .ih B) .h A) = ((A .ih B) .h B))

Proof of Theorem bcseqi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 4889	. . . . . . . . . 10 |- (((A .ih B) x. (B .ih A)) = ((A .ih A) x. (B .ih B)) -> (((A .ih B) x. (B .ih A)) x. (B .ih B)) = (((A .ih A) x. (B .ih B)) x. (B .ih B)))
2	1	eqcomd 1889	. . . . . . . . 9 |- (((A .ih B) x. (B .ih A)) = ((A .ih A) x. (B .ih B)) -> (((A .ih A) x. (B .ih B)) x. (B .ih B)) = (((A .ih B) x. (B .ih A)) x. (B .ih B)))
3		normlem7t.2	. . . . . . . . . . . 12 |- B e. ~H
4	3, 3	hicli 10581	. . . . . . . . . . 11 |- (B .ih B) e. CC
5		normlem7t.1	. . . . . . . . . . . 12 |- A e. ~H
6	4, 5	hvmulcli 10516	. . . . . . . . . . 11 |- ((B .ih B) .h A) e. ~H
7		his5 10586	. . . . . . . . . . 11 |- (((B .ih B) e. CC /\ ((B .ih B) .h A) e. ~H /\ A e. ~H) -> (((B .ih B) .h A) .ih ((B .ih B) .h A)) = ((*` (B .ih B)) x. (((B .ih B) .h A) .ih A)))
8	4, 6, 5, 7	mp3an 1191	. . . . . . . . . 10 |- (((B .ih B) .h A) .ih ((B .ih B) .h A)) = ((*` (B .ih B)) x. (((B .ih B) .h A) .ih A))
9		hiidrcl 10594	. . . . . . . . . . . . 13 |- (B e. ~H -> (B .ih B) e. RR)
10	3, 9	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . 12 |- (B .ih B) e. RR
11		cjre 8060	. . . . . . . . . . . 12 |- ((B .ih B) e. RR -> (*` (B .ih B)) = (B .ih B))
12	10, 11	ax-mp 7	. . . . . . . . . . 11 |- (*` (B .ih B)) = (B .ih B)
13		ax-his3 10584	. . . . . . . . . . . 12 |- (((B .ih B) e. CC /\ A e. ~H /\ A e. ~H) -> (((B .ih B) .h A) .ih A) = ((B .ih B) x. (A .ih A)))
14	4, 5, 5, 13	mp3an 1191	. . . . . . . . . . 11 |- (((B .ih B) .h A) .ih A) = ((B .ih B) x. (A .ih A))
15	12, 14	opreq12i 4894	. . . . . . . . . 10 |- ((*` (B .ih B)) x. (((B .ih B) .h A) .ih A)) = ((B .ih B) x. ((B .ih B) x. (A .ih A)))
16	5, 5	hicli 10581	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A .ih A) e. CC
17	4, 16	mulcli 6474	. . . . . . . . . . . 12 |- ((B .ih B) x. (A .ih A)) e. CC
18	4, 17	mulcomi 6476	. . . . . . . . . . 11 |- ((B .ih B) x. ((B .ih B) x. (A .ih A))) = (((B .ih B) x. (A .ih A)) x. (B .ih B))
19	16, 4	mulcomi 6476	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A .ih A) x. (B .ih B)) = ((B .ih B) x. (A .ih A))
20	19	opreq1i 4892	. . . . . . . . . . 11 |- (((A .ih A) x. (B .ih B)) x. (B .ih B)) = (((B .ih B) x. (A .ih A)) x. (B .ih B))
21	18, 20	eqtr4i 1911	. . . . . . . . . 10 |- ((B .ih B) x. ((B .ih B) x. (A .ih A))) = (((A .ih A) x. (B .ih B)) x. (B .ih B))
22	8, 15, 21	3eqtri 1912	. . . . . . . . 9 |- (((B .ih B) .h A) .ih ((B .ih B) .h A)) = (((A .ih A) x. (B .ih B)) x. (B .ih B))
23	5, 3	hicli 10581	. . . . . . . . . . 11 |- (A .ih B) e. CC
24		his5 10586	. . . . . . . . . . 11 |- (((A .ih B) e. CC /\ ((B .ih B) .h A) e. ~H /\ B e. ~H) -> (((B .ih B) .h A) .ih ((A .ih B) .h B)) = ((*` (A .ih B)) x. (((B .ih B) .h A) .ih B)))
25	23, 6, 3, 24	mp3an 1191	. . . . . . . . . 10 |- (((B .ih B) .h A) .ih ((A .ih B) .h B)) = ((*` (A .ih B)) x. (((B .ih B) .h A) .ih B))
26	3, 5	his1i 10599	. . . . . . . . . . . 12 |- (B .ih A) = (*` (A .ih B))
27	26	eqcomi 1888	. . . . . . . . . . 11 |- (*` (A .ih B)) = (B .ih A)
28		ax-his3 10584	. . . . . . . . . . . 12 |- (((B .ih B) e. CC /\ A e. ~H /\ B e. ~H) -> (((B .ih B) .h A) .ih B) = ((B .ih B) x. (A .ih B)))
29	4, 5, 3, 28	mp3an 1191	. . . . . . . . . . 11 |- (((B .ih B) .h A) .ih B) = ((B .ih B) x. (A .ih B))
30	27, 29	opreq12i 4894	. . . . . . . . . 10 |- ((*` (A .ih B)) x. (((B .ih B) .h A) .ih B)) = ((B .ih A) x. ((B .ih B) x. (A .ih B)))
31	3, 5	hicli 10581	. . . . . . . . . . . 12 |- (B .ih A) e. CC
32	4, 23	mulcli 6474	. . . . . . . . . . . 12 |- ((B .ih B) x. (A .ih B)) e. CC
33	31, 32	mulcomi 6476	. . . . . . . . . . 11 |- ((B .ih A) x. ((B .ih B) x. (A .ih B))) = (((B .ih B) x. (A .ih B)) x. (B .ih A))
34	4, 23, 31	mulassi 6478	. . . . . . . . . . 11 |- (((B .ih B) x. (A .ih B)) x. (B .ih A)) = ((B .ih B) x. ((A .ih B) x. (B .ih A)))
35	23, 31	mulcli 6474	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A .ih B) x. (B .ih A)) e. CC
36	4, 35	mulcomi 6476	. . . . . . . . . . 11 |- ((B .ih B) x. ((A .ih B) x. (B .ih A))) = (((A .ih B) x. (B .ih A)) x. (B .ih B))
37	33, 34, 36	3eqtri 1912	. . . . . . . . . 10 |- ((B .ih A) x. ((B .ih B) x. (A .ih B))) = (((A .ih B) x. (B .ih A)) x. (B .ih B))
38	25, 30, 37	3eqtri 1912	. . . . . . . . 9 |- (((B .ih B) .h A) .ih ((A .ih B) .h B)) = (((A .ih B) x. (B .ih A)) x. (B .ih B))
39	2, 22, 38	3eqtr4g 1953	. . . . . . . 8 |- (((A .ih B) x. (B .ih A)) = ((A .ih A) x. (B .ih B)) -> (((B .ih B) .h A) .ih ((B .ih B) .h A)) = (((B .ih B) .h A) .ih ((A .ih B) .h B)))
40		ax-his3 10584	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A .ih B) e. CC /\ B e. ~H /\ A e. ~H) -> (((A .ih B) .h B) .ih A) = ((A .ih B) x. (B .ih A)))
41	23, 3, 5, 40	mp3an 1191	. . . . . . . . . . 11 |- (((A .ih B) .h B) .ih A) = ((A .ih B) x. (B .ih A))
42	12, 41	opreq12i 4894	. . . . . . . . . 10 |- ((*` (B .ih B)) x. (((A .ih B) .h B) .ih A)) = ((B .ih B) x. ((A .ih B) x. (B .ih A)))
43	23, 3	hvmulcli 10516	. . . . . . . . . . 11 |- ((A .ih B) .h B) e. ~H
44		his5 10586	. . . . . . . . . . 11 |- (((B .ih B) e. CC /\ ((A .ih B) .h B) e. ~H /\ A e. ~H) -> (((A .ih B) .h B) .ih ((B .ih B) .h A)) = ((*` (B .ih B)) x. (((A .ih B) .h B) .ih A)))
45	4, 43, 5, 44	mp3an 1191	. . . . . . . . . 10 |- (((A .ih B) .h B) .ih ((B .ih B) .h A)) = ((*` (B .ih B)) x. (((A .ih B) .h B) .ih A))
46		his5 10586	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A .ih B) e. CC /\ ((A .ih B) .h B) e. ~H /\ B e. ~H) -> (((A .ih B) .h B) .ih ((A .ih B) .h B)) = ((*` (A .ih B)) x. (((A .ih B) .h B) .ih B)))
47	23, 43, 3, 46	mp3an 1191	. . . . . . . . . . 11 |- (((A .ih B) .h B) .ih ((A .ih B) .h B)) = ((*` (A .ih B)) x. (((A .ih B) .h B) .ih B))
48		ax-his3 10584	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((A .ih B) e. CC /\ B e. ~H /\ B e. ~H) -> (((A .ih B) .h B) .ih B) = ((A .ih B) x. (B .ih B)))
49	23, 3, 3, 48	mp3an 1191	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A .ih B) .h B) .ih B) = ((A .ih B) x. (B .ih B))
50	27, 49	opreq12i 4894	. . . . . . . . . . 11 |- ((*` (A .ih B)) x. (((A .ih B) .h B) .ih B)) = ((B .ih A) x. ((A .ih B) x. (B .ih B)))
51	23, 4	mulcli 6474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A .ih B) x. (B .ih B)) e. CC
52	31, 51	mulcomi 6476	. . . . . . . . . . . 12 |- ((B .ih A) x. ((A .ih B) x. (B .ih B))) = (((A .ih B) x. (B .ih B)) x. (B .ih A))
53	23, 4, 31	mul23i 6587	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A .ih B) x. (B .ih B)) x. (B .ih A)) = (((A .ih B) x. (B .ih A)) x. (B .ih B))
54	35, 4	mulcomi 6476	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A .ih B) x. (B .ih A)) x. (B .ih B)) = ((B .ih B) x. ((A .ih B) x. (B .ih A)))
55	52, 53, 54	3eqtri 1912	. . . . . . . . . . 11 |- ((B .ih A) x. ((A .ih B) x. (B .ih B))) = ((B .ih B) x. ((A .ih B) x. (B .ih A)))
56	47, 50, 55	3eqtri 1912	. . . . . . . . . 10 |- (((A .ih B) .h B) .ih ((A .ih B) .h B)) = ((B .ih B) x. ((A .ih B) x. (B .ih A)))
57	42, 45, 56	3eqtr4ri 1923	. . . . . . . . 9 |- (((A .ih B) .h B) .ih ((A .ih B) .h B)) = (((A .ih B) .h B) .ih ((B .ih B) .h A))
58	57	a1i 8	. . . . . . . 8 |- (((A .ih B) x. (B .ih A)) = ((A .ih A) x. (B .ih B)) -> (((A .ih B) .h B) .ih ((A .ih B) .h B)) = (((A .ih B) .h B) .ih ((B .ih B) .h A)))
59	39, 58	opreq12d 4900	. . . . . . 7 |- (((A .ih B) x. (B .ih A)) = ((A .ih A) x. (B .ih B)) -> ((((B .ih B) .h A) .ih ((B .ih B) .h A)) + (((A .ih B) .h B) .ih ((A .ih B) .h B))) = ((((B .ih B) .h A) .ih ((A .ih B) .h B)) + (((A .ih B) .h B) .ih ((B .ih B) .h A))))
60	59	opreq1d 4897	. . . . . 6 |- (((A .ih B) x. (B .ih A)) = ((A .ih A) x. (B .ih B)) -> (((((B .ih B) .h A) .ih ((B .ih B) .h A)) + (((A .ih B) .h B) .ih ((A .ih B) .h B))) - ((((B .ih B) .h A) .ih ((A .ih B) .h B)) + (((A .ih B) .h B) .ih ((B .ih B) .h A)))) = (((((B .ih B) .h A) .ih ((A .ih B) .h B)) + (((A .ih B) .h B) .ih ((B .ih B) .h A))) - ((((B .ih B) .h A) .ih ((A .ih B) .h B)) + (((A .ih B) .h B) .ih ((B .ih B) .h A)))))
61	6, 43	hicli 10581	. . . . . . . 8 |- (((B .ih B) .h A) .ih ((A .ih B) .h B)) e. CC
62	43, 6	hicli 10581	. . . . . . . 8 |- (((A .ih B) .h B) .ih ((B .ih B) .h A)) e. CC
63	61, 62	addcli 6473	. . . . . . 7 |- ((((B .ih B) .h A) .ih ((A .ih B) .h B)) + (((A .ih B) .h B) .ih ((B .ih B) .h A))) e. CC
64	63	subidi 6551	. . . . . 6 |- (((((B .ih B) .h A) .ih ((A .ih B) .h B)) + (((A .ih B) .h B) .ih ((B .ih B) .h A))) - ((((B .ih B) .h A) .ih ((A .ih B) .h B)) + (((A .ih B) .h B) .ih ((B .ih B) .h A)))) = 0
65	60, 64	syl6eq 1944	. . . . 5 |- (((A .ih B) x. (B .ih A)) = ((A .ih A) x. (B .ih B)) -> (((((B .ih B) .h A) .ih ((B .ih B) .h A)) + (((A .ih B) .h B) .ih ((A .ih B) .h B))) - ((((B .ih B) .h A) .ih ((A .ih B) .h B)) + (((A .ih B) .h B) .ih ((B .ih B) .h A)))) = 0)
66	6, 43, 6, 43	normlem9 10617	. . . . 5 |- ((((B .ih B) .h A) -h ((A .ih B) .h B)) .ih (((B .ih B) .h A) -h ((A .ih B) .h B))) = (((((B .ih B) .h A) .ih ((B .ih B) .h A)) + (((A .ih B) .h B) .ih ((A .ih B) .h B))) - ((((B .ih B) .h A) .ih ((A .ih B) .h B)) + (((A .ih B) .h B) .ih ((B .ih B) .h A))))
67	65, 66	syl5eq 1940	. . . 4 |- (((A .ih B) x. (B .ih A)) = ((A .ih A) x. (B .ih B)) -> ((((B .ih B) .h A) -h ((A .ih B) .h B)) .ih (((B .ih B) .h A) -h ((A .ih B) .h B))) = 0)
68	6, 43	hvsubcli 10523	. . . . 5 |- (((B .ih B) .h A) -h ((A .ih B) .h B)) e. ~H
69		his6 10598	. . . . 5 |- ((((B .ih B) .h A) -h ((A .ih B) .h B)) e. ~H -> (((((B .ih B) .h A) -h ((A .ih B) .h B)) .ih (((B .ih B) .h A) -h ((A .ih B) .h B))) = 0 <-> (((B .ih B) .h A) -h ((A .ih B) .h B)) = 0h))
70	68, 69	ax-mp 7	. . . 4 |- (((((B .ih B) .h A) -h ((A .ih B) .h B)) .ih (((B .ih B) .h A) -h ((A .ih B) .h B))) = 0 <-> (((B .ih B) .h A) -h ((A .ih B) .h B)) = 0h)
71	67, 70	sylib 215	. . 3 |- (((A .ih B) x. (B .ih A)) = ((A .ih A) x. (B .ih B)) -> (((B .ih B) .h A) -h ((A .ih B) .h B)) = 0h)
72	6, 43	hvsubeq0i 10562	. . 3 |- ((((B .ih B) .h A) -h ((A .ih B) .h B)) = 0h <-> ((B .ih B) .h A) = ((A .ih B) .h B))
73	71, 72	sylib 215	. 2 |- (((A .ih B) x. (B .ih A)) = ((A .ih A) x. (B .ih B)) -> ((B .ih B) .h A) = ((A .ih B) .h B))
74		opreq1 4889	. . . 4 |- (((B .ih B) .h A) = ((A .ih B) .h B) -> (((B .ih B) .h A) .ih A) = (((A .ih B) .h B) .ih A))
75	19, 14	eqtr4i 1911	. . . 4 |- ((A .ih A) x. (B .ih B)) = (((B .ih B) .h A) .ih A)
76	41	eqcomi 1888	. . . 4 |- ((A .ih B) x. (B .ih A)) = (((A .ih B) .h B) .ih A)
77	74, 75, 76	3eqtr4g 1953	. . 3 |- (((B .ih B) .h A) = ((A .ih B) .h B) -> ((A .ih A) x. (B .ih B)) = ((A .ih B) x. (B .ih A)))
78	77	eqcomd 1889	. 2 |- (((B .ih B) .h A) = ((A .ih B) .h B) -> ((A .ih B) x. (B .ih A)) = ((A .ih A) x. (B .ih B)))
79	73, 78	impbii 174	1 |- (((A .ih B) x. (B .ih A)) = ((A .ih A) x. (B .ih B)) <-> ((B .ih B) .h A) = ((A .ih B) .h B))

Syntax hints:   <-> wb 163   = wceq 1298   e. wcel 1300  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386   + caddc 6389   x. cmul 6391   - cmin 6445  *ccj 7999  ~Hchil 10420   .h csm 10422  0hc0v 10423   -h cmv 10424   .ih csp 10425

This theorem is referenced by:  h1de2i 11109

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-hvsub 10472

Copyright terms: Public domain