Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4t3lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4t3lem 11507
 Description: Lemma for 4t3e12 11508 and related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
4t3lem.1 𝐴 ∈ ℕ0
4t3lem.2 𝐵 ∈ ℕ0
4t3lem.3 𝐶 = (𝐵 + 1)
4t3lem.4 (𝐴 · 𝐵) = 𝐷
4t3lem.5 (𝐷 + 𝐴) = 𝐸
Assertion
Ref Expression
4t3lem (𝐴 · 𝐶) = 𝐸

Proof of Theorem 4t3lem
StepHypRef Expression
1 4t3lem.3 . . 3 𝐶 = (𝐵 + 1)
21oveq2i 6560 . 2 (𝐴 · 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 + 1))
3 4t3lem.1 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℕ0
43nn0cni 11181 . . . . 5 𝐴 ∈ ℂ
5 4t3lem.2 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℕ0
65nn0cni 11181 . . . . 5 𝐵 ∈ ℂ
7 ax-1cn 9873 . . . . 5 1 ∈ ℂ
84, 6, 7adddii 9929 . . . 4 (𝐴 · (𝐵 + 1)) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 1))
9 4t3lem.4 . . . . 5 (𝐴 · 𝐵) = 𝐷
104mulid1i 9921 . . . . 5 (𝐴 · 1) = 𝐴
119, 10oveq12i 6561 . . . 4 ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 1)) = (𝐷 + 𝐴)
128, 11eqtri 2632 . . 3 (𝐴 · (𝐵 + 1)) = (𝐷 + 𝐴)
13 4t3lem.5 . . 3 (𝐷 + 𝐴) = 𝐸
1412, 13eqtri 2632 . 2 (𝐴 · (𝐵 + 1)) = 𝐸
152, 14eqtri 2632 1 (𝐴 · 𝐶) = 𝐸
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  ℕ0cn0 11169 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-nn 10898  df-n0 11170 This theorem is referenced by:  4t3e12  11508  4t4e16  11509  5t2e10  11510  5t3e15  11511  5t3e15OLD  11512  5t4e20  11513  5t4e20OLD  11514  5t5e25  11515  5t5e25OLD  11516  6t3e18  11518  6t4e24  11519  6t5e30  11520  6t5e30OLD  11521  6t6e36  11522  6t6e36OLD  11523  7t3e21  11525  7t4e28  11526  7t5e35  11527  7t6e42  11528  7t7e49  11529  8t3e24  11531  8t4e32  11532  8t5e40  11533  8t5e40OLD  11534  8t6e48  11535  8t6e48OLD  11536  8t7e56  11537  8t8e64  11538  9t3e27  11540  9t4e36  11541  9t5e45  11542  9t6e54  11543  9t7e63  11544  9t8e72  11545  9t9e81  11546
 Copyright terms: Public domain W3C validator