MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4t3lem Structured version   Unicode version

Theorem 4t3lem 11123
Description: Lemma for 4t3e12 11124 and related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
4t3lem.1  |-  A  e. 
NN0
4t3lem.2  |-  B  e. 
NN0
4t3lem.3  |-  C  =  ( B  +  1 )
4t3lem.4  |-  ( A  x.  B )  =  D
4t3lem.5  |-  ( D  +  A )  =  E
Assertion
Ref Expression
4t3lem  |-  ( A  x.  C )  =  E

Proof of Theorem 4t3lem
StepHypRef Expression
1 4t3lem.3 . . 3  |-  C  =  ( B  +  1 )
21oveq2i 6313 . 2  |-  ( A  x.  C )  =  ( A  x.  ( B  +  1 ) )
3 4t3lem.1 . . . . . 6  |-  A  e. 
NN0
43nn0cni 10882 . . . . 5  |-  A  e.  CC
5 4t3lem.2 . . . . . 6  |-  B  e. 
NN0
65nn0cni 10882 . . . . 5  |-  B  e.  CC
7 ax-1cn 9598 . . . . 5  |-  1  e.  CC
84, 6, 7adddii 9654 . . . 4  |-  ( A  x.  ( B  + 
1 ) )  =  ( ( A  x.  B )  +  ( A  x.  1 ) )
9 4t3lem.4 . . . . 5  |-  ( A  x.  B )  =  D
104mulid1i 9646 . . . . 5  |-  ( A  x.  1 )  =  A
119, 10oveq12i 6314 . . . 4  |-  ( ( A  x.  B )  +  ( A  x.  1 ) )  =  ( D  +  A
)
128, 11eqtri 2451 . . 3  |-  ( A  x.  ( B  + 
1 ) )  =  ( D  +  A
)
13 4t3lem.5 . . 3  |-  ( D  +  A )  =  E
1412, 13eqtri 2451 . 2  |-  ( A  x.  ( B  + 
1 ) )  =  E
152, 14eqtri 2451 1  |-  ( A  x.  C )  =  E
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1437    e. wcel 1868  (class class class)co 6302   1c1 9541    + caddc 9543    x. cmul 9545   NN0cn0 10870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-ov 6305  df-om 6704  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-nn 10611  df-n0 10871
This theorem is referenced by:  4t3e12  11124  4t4e16  11125  5t3e15  11126  5t4e20  11127  5t5e25  11128  6t3e18  11130  6t4e24  11131  6t5e30  11132  6t6e36  11133  7t3e21  11135  7t4e28  11136  7t5e35  11137  7t6e42  11138  7t7e49  11139  8t3e24  11141  8t4e32  11142  8t5e40  11143  8t6e48  11144  8t7e56  11145  8t8e64  11146  9t3e27  11148  9t4e36  11149  9t5e45  11150  9t6e54  11151  9t7e63  11152  9t8e72  11153  9t9e81  11154
  Copyright terms: Public domain W3C validator