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Theorem 2lgslem3 24929
 Description: Lemma 3 for 2lgs 24932. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2lgslem2.n 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
Assertion
Ref Expression
2lgslem3 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1))

Proof of Theorem 2lgslem3
StepHypRef Expression
1 nnz 11276 . . 3 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℤ)
2 lgsdir2lem3 24852 . . 3 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑃 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
31, 2sylan 487 . 2 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑃 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
4 elun 3715 . . 3 ((𝑃 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) ↔ ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝑃 mod 8) ∈ {3, 5}))
5 ovex 6577 . . . . . . . . 9 (𝑃 mod 8) ∈ V
65elpr 4146 . . . . . . . 8 ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝑃 mod 8) = 1 ∨ (𝑃 mod 8) = 7))
7 2lgslem2.n . . . . . . . . . . . . 13 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
872lgslem3a1 24925 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 1) → (𝑁 mod 2) = 0)
98a1d 25 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 1) → (¬ 2 ∥ 𝑃 → (𝑁 mod 2) = 0))
109expcom 450 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 mod 8) = 1 → (𝑃 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑃 → (𝑁 mod 2) = 0)))
1110impd 446 . . . . . . . . 9 ((𝑃 mod 8) = 1 → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = 0))
1272lgslem3d1 24928 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 7) → (𝑁 mod 2) = 0)
1312a1d 25 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 7) → (¬ 2 ∥ 𝑃 → (𝑁 mod 2) = 0))
1413expcom 450 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 mod 8) = 7 → (𝑃 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑃 → (𝑁 mod 2) = 0)))
1514impd 446 . . . . . . . . 9 ((𝑃 mod 8) = 7 → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = 0))
1611, 15jaoi 393 . . . . . . . 8 (((𝑃 mod 8) = 1 ∨ (𝑃 mod 8) = 7) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = 0))
176, 16sylbi 206 . . . . . . 7 ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = 0))
1817imp 444 . . . . . 6 (((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃)) → (𝑁 mod 2) = 0)
19 iftrue 4042 . . . . . . 7 ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 0)
2019adantr 480 . . . . . 6 (((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃)) → if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 0)
2118, 20eqtr4d 2647 . . . . 5 (((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃)) → (𝑁 mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1))
2221ex 449 . . . 4 ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1)))
235elpr 4146 . . . . 5 ((𝑃 mod 8) ∈ {3, 5} ↔ ((𝑃 mod 8) = 3 ∨ (𝑃 mod 8) = 5))
2472lgslem3b1 24926 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 3) → (𝑁 mod 2) = 1)
2524expcom 450 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 mod 8) = 3 → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑁 mod 2) = 1))
2672lgslem3c1 24927 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 5) → (𝑁 mod 2) = 1)
2726expcom 450 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 mod 8) = 5 → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑁 mod 2) = 1))
2825, 27jaoi 393 . . . . . . . . 9 (((𝑃 mod 8) = 3 ∨ (𝑃 mod 8) = 5) → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑁 mod 2) = 1))
2928imp 444 . . . . . . . 8 ((((𝑃 mod 8) = 3 ∨ (𝑃 mod 8) = 5) ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 2) = 1)
30 1re 9918 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ
31 1lt3 11073 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 < 3
3230, 31ltneii 10029 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ≠ 3
3332nesymi 2839 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ 3 = 1
34 3re 10971 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℝ
35 3lt7 11089 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 < 7
3634, 35ltneii 10029 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 ≠ 7
3736neii 2784 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ 3 = 7
3833, 37pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ 3 = 1 ∧ ¬ 3 = 7)
39 eqeq1 2614 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 mod 8) = 3 → ((𝑃 mod 8) = 1 ↔ 3 = 1))
4039notbid 307 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 mod 8) = 3 → (¬ (𝑃 mod 8) = 1 ↔ ¬ 3 = 1))
41 eqeq1 2614 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 mod 8) = 3 → ((𝑃 mod 8) = 7 ↔ 3 = 7))
4241notbid 307 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 mod 8) = 3 → (¬ (𝑃 mod 8) = 7 ↔ ¬ 3 = 7))
4340, 42anbi12d 743 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 mod 8) = 3 → ((¬ (𝑃 mod 8) = 1 ∧ ¬ (𝑃 mod 8) = 7) ↔ (¬ 3 = 1 ∧ ¬ 3 = 7)))
4438, 43mpbiri 247 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 mod 8) = 3 → (¬ (𝑃 mod 8) = 1 ∧ ¬ (𝑃 mod 8) = 7))
45 1lt5 11080 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 < 5
4630, 45ltneii 10029 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ≠ 5
4746nesymi 2839 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ 5 = 1
48 5re 10976 . . . . . . . . . . . . . . . 16 5 ∈ ℝ
49 5lt7 11087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 5 < 7
5048, 49ltneii 10029 . . . . . . . . . . . . . . 15 5 ≠ 7
5150neii 2784 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ 5 = 7
5247, 51pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ 5 = 1 ∧ ¬ 5 = 7)
53 eqeq1 2614 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 mod 8) = 5 → ((𝑃 mod 8) = 1 ↔ 5 = 1))
5453notbid 307 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 mod 8) = 5 → (¬ (𝑃 mod 8) = 1 ↔ ¬ 5 = 1))
55 eqeq1 2614 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 mod 8) = 5 → ((𝑃 mod 8) = 7 ↔ 5 = 7))
5655notbid 307 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 mod 8) = 5 → (¬ (𝑃 mod 8) = 7 ↔ ¬ 5 = 7))
5754, 56anbi12d 743 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 mod 8) = 5 → ((¬ (𝑃 mod 8) = 1 ∧ ¬ (𝑃 mod 8) = 7) ↔ (¬ 5 = 1 ∧ ¬ 5 = 7)))
5852, 57mpbiri 247 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 mod 8) = 5 → (¬ (𝑃 mod 8) = 1 ∧ ¬ (𝑃 mod 8) = 7))
5944, 58jaoi 393 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 mod 8) = 3 ∨ (𝑃 mod 8) = 5) → (¬ (𝑃 mod 8) = 1 ∧ ¬ (𝑃 mod 8) = 7))
6059adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 mod 8) = 3 ∨ (𝑃 mod 8) = 5) ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (¬ (𝑃 mod 8) = 1 ∧ ¬ (𝑃 mod 8) = 7))
61 ioran 510 . . . . . . . . . . 11 (¬ ((𝑃 mod 8) = 1 ∨ (𝑃 mod 8) = 7) ↔ (¬ (𝑃 mod 8) = 1 ∧ ¬ (𝑃 mod 8) = 7))
6261, 6xchnxbir 322 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (¬ (𝑃 mod 8) = 1 ∧ ¬ (𝑃 mod 8) = 7))
6360, 62sylibr 223 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 mod 8) = 3 ∨ (𝑃 mod 8) = 5) ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})
6463iffalsed 4047 . . . . . . . 8 ((((𝑃 mod 8) = 3 ∨ (𝑃 mod 8) = 5) ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 1)
6529, 64eqtr4d 2647 . . . . . . 7 ((((𝑃 mod 8) = 3 ∨ (𝑃 mod 8) = 5) ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1))
6665a1d 25 . . . . . 6 ((((𝑃 mod 8) = 3 ∨ (𝑃 mod 8) = 5) ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (¬ 2 ∥ 𝑃 → (𝑁 mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1)))
6766expimpd 627 . . . . 5 (((𝑃 mod 8) = 3 ∨ (𝑃 mod 8) = 5) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1)))
6823, 67sylbi 206 . . . 4 ((𝑃 mod 8) ∈ {3, 5} → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1)))
6922, 68jaoi 393 . . 3 (((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝑃 mod 8) ∈ {3, 5}) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1)))
704, 69sylbi 206 . 2 ((𝑃 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1)))
713, 70mpcom 37 1 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∪ cun 3538  ifcif 4036  {cpr 4127   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  5c5 10950  7c7 10952  8c8 10953  ℤcz 11254  ⌊cfl 12453   mod cmo 12530   ∥ cdvds 14821 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-ico 12052  df-fz 12198  df-fl 12455  df-mod 12531  df-dvds 14822 This theorem is referenced by:  2lgs  24932
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