Theorem 0bits 14999

Description: The bits of zero. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
0bits	⊢ (bits‘0) = ∅

Proof of Theorem 0bits

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 9913	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
2	1	snid 4155	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ {0}
3		fzo01 12417	. . . . . 6 ⊢ (0..^1) = {0}
4	2, 3	eleqtrri 2687	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0..^1)
5		2cn 10968	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
6		exp0 12726	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (2↑0) = 1
8	7	oveq2i 6560	. . . . 5 ⊢ (0..^(2↑0)) = (0..^1)
9	4, 8	eleqtrri 2687	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0..^(2↑0))
10		0z 11265	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
11		0nn0 11184	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
12		bitsfzo 14995	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (0 ∈ (0..^(2↑0)) ↔ (bits‘0) ⊆ (0..^0)))
13	10, 11, 12	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^(2↑0)) ↔ (bits‘0) ⊆ (0..^0))
14	9, 13	mpbi 219	. . 3 ⊢ (bits‘0) ⊆ (0..^0)
15		fzo0 12361	. . 3 ⊢ (0..^0) = ∅
16	14, 15	sseqtri 3600	. 2 ⊢ (bits‘0) ⊆ ∅
17		0ss 3924	. 2 ⊢ ∅ ⊆ (bits‘0)
18	16, 17	eqssi 3584	1 ⊢ (bits‘0) = ∅

Syntax hints:   ↔ wb 195   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816  2c2 10947  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ..^cfzo 12334  ↑cexp 12722  bitscbits 14979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-dvds 14822  df-bits 14982

This theorem is referenced by:  m1bits  15000  sadcadd  15018  sadadd2  15020  bitsres  15033  smumullem  15052  eulerpartgbij  29761  eulerpartlemmf  29764  eulerpartlemgvv  29765  eulerpartlemgh  29767