MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0bits Unicode version

Theorem 0bits 12906
Description: The bits of zero. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
0bits  |-  (bits ` 
0 )  =  (/)

Proof of Theorem 0bits
StepHypRef Expression
1 c0ex 9041 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
21snid 3801 . . . . . 6  |-  0  e.  { 0 }
3 fzo01 11137 . . . . . 6  |-  ( 0..^ 1 )  =  {
0 }
42, 3eleqtrri 2477 . . . . 5  |-  0  e.  ( 0..^ 1 )
5 2cn 10026 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
6 exp0 11341 . . . . . . 7  |-  ( 2  e.  CC  ->  (
2 ^ 0 )  =  1 )
75, 6ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( 2 ^ 0 )  =  1
87oveq2i 6051 . . . . 5  |-  ( 0..^ ( 2 ^ 0 ) )  =  ( 0..^ 1 )
94, 8eleqtrri 2477 . . . 4  |-  0  e.  ( 0..^ ( 2 ^ 0 ) )
10 0z 10249 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
11 0nn0 10192 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
12 bitsfzo 12902 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( 0  e.  ( 0..^ ( 2 ^ 0 ) )  <->  (bits `  0
)  C_  ( 0..^ 0 ) ) )
1310, 11, 12mp2an 654 . . . 4  |-  ( 0  e.  ( 0..^ ( 2 ^ 0 ) )  <->  (bits `  0 )  C_  ( 0..^ 0 ) )
149, 13mpbi 200 . . 3  |-  (bits ` 
0 )  C_  (
0..^ 0 )
15 fzo0 11114 . . 3  |-  ( 0..^ 0 )  =  (/)
1614, 15sseqtri 3340 . 2  |-  (bits ` 
0 )  C_  (/)
17 0ss 3616 . 2  |-  (/)  C_  (bits `  0 )
1816, 17eqssi 3324 1  |-  (bits ` 
0 )  =  (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    = wceq 1649    e. wcel 1721    C_ wss 3280   (/)c0 3588   {csn 3774   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   0cc0 8946   1c1 8947   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238  ..^cfzo 11090   ^cexp 11337  bitscbits 12886
This theorem is referenced by:  m1bits  12907  sadcadd  12925  sadadd2  12927  bitsres  12940  smumullem  12959
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-dvds 12808  df-bits 12889
  Copyright terms: Public domain W3C validator