Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlcoabs2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlcoabs2N 35028
 Description: Absorption of the trace of a composition. (Contributed by NM, 29-Jul-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
trlcoabs.l = (le‘𝐾)
trlcoabs.j = (join‘𝐾)
trlcoabs.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
trlcoabs.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlcoabs.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlcoabs.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
trlcoabs2N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = ((𝐹𝑃) (𝐺𝑃)))

Proof of Theorem trlcoabs2N
StepHypRef Expression
1 simp1 1054 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp2r 1081 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐺𝑇)
3 simp2l 1080 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐹𝑇)
4 trlcoabs.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 trlcoabs.t . . . . . . 7 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
64, 5ltrncnv 34450 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
71, 3, 6syl2anc 691 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐹𝑇)
84, 5ltrnco 35025 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝐹𝑇) → (𝐺𝐹) ∈ 𝑇)
91, 2, 7, 8syl3anc 1318 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐺𝐹) ∈ 𝑇)
10 trlcoabs.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
11 trlcoabs.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
1210, 11, 4, 5ltrnel 34443 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊))
13123adant2r 1313 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊))
14 trlcoabs.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
15 eqid 2610 . . . . 5 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
16 trlcoabs.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
1710, 14, 15, 11, 4, 5, 16trlval2 34468 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝐹) ∈ 𝑇 ∧ ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊)) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) = (((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)))(meet‘𝐾)𝑊))
181, 9, 13, 17syl3anc 1318 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) = (((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)))(meet‘𝐾)𝑊))
1918oveq2d 6565 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = ((𝐹𝑃) (((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)))(meet‘𝐾)𝑊)))
20 simp1l 1078 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
21 simp3l 1082 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑃𝐴)
2210, 11, 4, 5ltrnat 34444 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐴) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐴)
231, 3, 21, 22syl3anc 1318 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐴)
2410, 11, 4, 5ltrnat 34444 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝐹) ∈ 𝑇 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴) → ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)) ∈ 𝐴)
251, 9, 23, 24syl3anc 1318 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)) ∈ 𝐴)
26 eqid 2610 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2726, 14, 11hlatjcl 33671 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)) ∈ 𝐴) → ((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
2820, 23, 25, 27syl3anc 1318 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
29 simp1r 1079 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑊𝐻)
3026, 4lhpbase 34302 . . . 4 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
3129, 30syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
3210, 14, 11hlatlej1 33679 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)) ∈ 𝐴) → (𝐹𝑃) ((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃))))
3320, 23, 25, 32syl3anc 1318 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝑃) ((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃))))
3426, 10, 14, 15, 11atmod3i1 34168 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃))) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐹𝑃) ((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)))) → ((𝐹𝑃) (((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)))(meet‘𝐾)𝑊)) = (((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)))(meet‘𝐾)((𝐹𝑃) 𝑊)))
3520, 23, 28, 31, 33, 34syl131anc 1331 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) (((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)))(meet‘𝐾)𝑊)) = (((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)))(meet‘𝐾)((𝐹𝑃) 𝑊)))
3610, 11, 4, 5ltrncoval 34449 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐺𝐹) ∈ 𝑇𝐹𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → (((𝐺𝐹) ∘ 𝐹)‘𝑃) = ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)))
371, 9, 3, 21, 36syl121anc 1323 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐺𝐹) ∘ 𝐹)‘𝑃) = ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)))
38 coass 5571 . . . . . . . 8 ((𝐺𝐹) ∘ 𝐹) = (𝐺 ∘ (𝐹𝐹))
3926, 4, 5ltrn1o 34428 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
401, 3, 39syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
41 f1ococnv1 6078 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → (𝐹𝐹) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝐹) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
4342coeq2d 5206 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐺 ∘ (𝐹𝐹)) = (𝐺 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))))
4426, 4, 5ltrn1o 34428 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → 𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
451, 2, 44syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
46 f1of 6050 . . . . . . . . . 10 (𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → 𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
47 fcoi1 5991 . . . . . . . . . 10 (𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾) → (𝐺 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = 𝐺)
4845, 46, 473syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐺 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = 𝐺)
4943, 48eqtrd 2644 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐺 ∘ (𝐹𝐹)) = 𝐺)
5038, 49syl5eq 2656 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝐹) ∘ 𝐹) = 𝐺)
5150fveq1d 6105 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐺𝐹) ∘ 𝐹)‘𝑃) = (𝐺𝑃))
5237, 51eqtr3d 2646 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)) = (𝐺𝑃))
5352oveq2d 6565 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃))) = ((𝐹𝑃) (𝐺𝑃)))
54 eqid 2610 . . . . . 6 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
5510, 14, 54, 11, 4lhpjat2 34325 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊)) → ((𝐹𝑃) 𝑊) = (1.‘𝐾))
561, 13, 55syl2anc 691 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) 𝑊) = (1.‘𝐾))
5753, 56oveq12d 6567 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)))(meet‘𝐾)((𝐹𝑃) 𝑊)) = (((𝐹𝑃) (𝐺𝑃))(meet‘𝐾)(1.‘𝐾)))
58 hlol 33666 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
5920, 58syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ OL)
6010, 11, 4, 5ltrnat 34444 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝑃𝐴) → (𝐺𝑃) ∈ 𝐴)
611, 2, 21, 60syl3anc 1318 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐺𝑃) ∈ 𝐴)
6226, 14, 11hlatjcl 33671 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝐴) → ((𝐹𝑃) (𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
6320, 23, 61, 62syl3anc 1318 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) (𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
6426, 15, 54olm11 33532 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ ((𝐹𝑃) (𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝐹𝑃) (𝐺𝑃))(meet‘𝐾)(1.‘𝐾)) = ((𝐹𝑃) (𝐺𝑃)))
6559, 63, 64syl2anc 691 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐹𝑃) (𝐺𝑃))(meet‘𝐾)(1.‘𝐾)) = ((𝐹𝑃) (𝐺𝑃)))
6657, 65eqtrd 2644 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)))(meet‘𝐾)((𝐹𝑃) 𝑊)) = ((𝐹𝑃) (𝐺𝑃)))
6719, 35, 663eqtrd 2648 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = ((𝐹𝑃) (𝐺𝑃)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583   I cid 4948  ◡ccnv 5037   ↾ cres 5040   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  lecple 15775  joincjn 16767  meetcmee 16768  1.cp1 16861  OLcol 33479  Atomscatm 33568  HLchlt 33655  LHypclh 34288  LTrncltrn 34405  trLctrl 34463 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-riotaBAD 33257 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-undef 7286  df-map 7746  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-llines 33802  df-lplanes 33803  df-lvols 33804  df-lines 33805  df-psubsp 33807  df-pmap 33808  df-padd 34100  df-lhyp 34292  df-laut 34293  df-ldil 34408  df-ltrn 34409  df-trl 34464 This theorem is referenced by:  cdlemkfid1N  35227
 Copyright terms: Public domain W3C validator