Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlcoabs2N Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem trlcoabs2N 34360
Description: Absorption of the trace of a composition. (Contributed by NM, 29-Jul-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
trlcoabs.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
trlcoabs.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
trlcoabs.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
trlcoabs.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
trlcoabs.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
trlcoabs.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
trlcoabs2N  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )  =  ( ( F `  P )  .\/  ( G `  P )
) )

Proof of Theorem trlcoabs2N
StepHypRef Expression
1 simp1 1030 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp2r 1057 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  G  e.  T )
3 simp2l 1056 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  F  e.  T )
4 trlcoabs.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 trlcoabs.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
64, 5ltrncnv 33782 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  T )
71, 3, 6syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  `' F  e.  T )
84, 5ltrnco 34357 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  `' F  e.  T
)  ->  ( G  o.  `' F )  e.  T
)
91, 2, 7, 8syl3anc 1292 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( G  o.  `' F )  e.  T
)
10 trlcoabs.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
11 trlcoabs.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
1210, 11, 4, 5ltrnel 33775 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  e.  A  /\  -.  ( F `  P )  .<_  W ) )
13123adant2r 1287 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  e.  A  /\  -.  ( F `  P )  .<_  W ) )
14 trlcoabs.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
15 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
16 trlcoabs.r . . . . 5  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
1710, 14, 15, 11, 4, 5, 16trlval2 33800 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  o.  `' F )  e.  T  /\  ( ( F `  P )  e.  A  /\  -.  ( F `  P )  .<_  W ) )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  =  ( ( ( F `
 P )  .\/  ( ( G  o.  `' F ) `  ( F `  P )
) ) ( meet `  K ) W ) )
181, 9, 13, 17syl3anc 1292 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  =  ( ( ( F `
 P )  .\/  ( ( G  o.  `' F ) `  ( F `  P )
) ) ( meet `  K ) W ) )
1918oveq2d 6324 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )  =  ( ( F `  P )  .\/  (
( ( F `  P )  .\/  (
( G  o.  `' F ) `  ( F `  P )
) ) ( meet `  K ) W ) ) )
20 simp1l 1054 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  K  e.  HL )
21 simp3l 1058 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  P  e.  A )
2210, 11, 4, 5ltrnat 33776 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( F `  P )  e.  A
)
231, 3, 21, 22syl3anc 1292 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( F `  P )  e.  A
)
2410, 11, 4, 5ltrnat 33776 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  o.  `' F )  e.  T  /\  ( F `  P
)  e.  A )  ->  ( ( G  o.  `' F ) `
 ( F `  P ) )  e.  A )
251, 9, 23, 24syl3anc 1292 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G  o.  `' F
) `  ( F `  P ) )  e.  A )
26 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
2726, 14, 11hlatjcl 33003 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( F `  P )  e.  A  /\  (
( G  o.  `' F ) `  ( F `  P )
)  e.  A )  ->  ( ( F `
 P )  .\/  ( ( G  o.  `' F ) `  ( F `  P )
) )  e.  (
Base `  K )
)
2820, 23, 25, 27syl3anc 1292 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( ( G  o.  `' F ) `  ( F `  P )
) )  e.  (
Base `  K )
)
29 simp1r 1055 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  W  e.  H )
3026, 4lhpbase 33634 . . . 4  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
3129, 30syl 17 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  W  e.  ( Base `  K )
)
3210, 14, 11hlatlej1 33011 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( F `  P )  e.  A  /\  (
( G  o.  `' F ) `  ( F `  P )
)  e.  A )  ->  ( F `  P )  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( ( G  o.  `' F ) `
 ( F `  P ) ) ) )
3320, 23, 25, 32syl3anc 1292 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( F `  P )  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( ( G  o.  `' F ) `
 ( F `  P ) ) ) )
3426, 10, 14, 15, 11atmod3i1 33500 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( F `  P )  e.  A  /\  ( ( F `  P )  .\/  (
( G  o.  `' F ) `  ( F `  P )
) )  e.  (
Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K ) )  /\  ( F `  P )  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( ( G  o.  `' F ) `
 ( F `  P ) ) ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( ( ( F `
 P )  .\/  ( ( G  o.  `' F ) `  ( F `  P )
) ) ( meet `  K ) W ) )  =  ( ( ( F `  P
)  .\/  ( ( G  o.  `' F
) `  ( F `  P ) ) ) ( meet `  K
) ( ( F `
 P )  .\/  W ) ) )
3520, 23, 28, 31, 33, 34syl131anc 1305 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( ( ( F `
 P )  .\/  ( ( G  o.  `' F ) `  ( F `  P )
) ) ( meet `  K ) W ) )  =  ( ( ( F `  P
)  .\/  ( ( G  o.  `' F
) `  ( F `  P ) ) ) ( meet `  K
) ( ( F `
 P )  .\/  W ) ) )
3610, 11, 4, 5ltrncoval 33781 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( G  o.  `' F )  e.  T  /\  F  e.  T )  /\  P  e.  A )  ->  (
( ( G  o.  `' F )  o.  F
) `  P )  =  ( ( G  o.  `' F ) `
 ( F `  P ) ) )
371, 9, 3, 21, 36syl121anc 1297 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( G  o.  `' F )  o.  F
) `  P )  =  ( ( G  o.  `' F ) `
 ( F `  P ) ) )
38 coass 5361 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  o.  `' F
)  o.  F )  =  ( G  o.  ( `' F  o.  F
) )
3926, 4, 5ltrn1o 33760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
401, 3, 39syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  F :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
41 f1ococnv1 5856 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
4342coeq2d 5002 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( G  o.  ( `' F  o.  F ) )  =  ( G  o.  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) )
4426, 4, 5ltrn1o 33760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  G :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
451, 2, 44syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  G :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
46 f1of 5828 . . . . . . . . . 10  |-  ( G : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )  ->  G : ( Base `  K ) --> ( Base `  K ) )
47 fcoi1 5769 . . . . . . . . . 10  |-  ( G : ( Base `  K
) --> ( Base `  K
)  ->  ( G  o.  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  =  G )
4845, 46, 473syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( G  o.  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  =  G )
4943, 48eqtrd 2505 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( G  o.  ( `' F  o.  F ) )  =  G )
5038, 49syl5eq 2517 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G  o.  `' F
)  o.  F )  =  G )
5150fveq1d 5881 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( G  o.  `' F )  o.  F
) `  P )  =  ( G `  P ) )
5237, 51eqtr3d 2507 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G  o.  `' F
) `  ( F `  P ) )  =  ( G `  P
) )
5352oveq2d 6324 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( ( G  o.  `' F ) `  ( F `  P )
) )  =  ( ( F `  P
)  .\/  ( G `  P ) ) )
54 eqid 2471 . . . . . 6  |-  ( 1.
`  K )  =  ( 1. `  K
)
5510, 14, 54, 11, 4lhpjat2 33657 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( F `
 P )  e.  A  /\  -.  ( F `  P )  .<_  W ) )  -> 
( ( F `  P )  .\/  W
)  =  ( 1.
`  K ) )
561, 13, 55syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  W )  =  ( 1. `  K ) )
5753, 56oveq12d 6326 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( F `  P
)  .\/  ( ( G  o.  `' F
) `  ( F `  P ) ) ) ( meet `  K
) ( ( F `
 P )  .\/  W ) )  =  ( ( ( F `  P )  .\/  ( G `  P )
) ( meet `  K
) ( 1. `  K ) ) )
58 hlol 32998 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
5920, 58syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  K  e.  OL )
6010, 11, 4, 5ltrnat 33776 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( G `  P )  e.  A
)
611, 2, 21, 60syl3anc 1292 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( G `  P )  e.  A
)
6226, 14, 11hlatjcl 33003 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( F `  P )  e.  A  /\  ( G `  P )  e.  A )  ->  (
( F `  P
)  .\/  ( G `  P ) )  e.  ( Base `  K
) )
6320, 23, 61, 62syl3anc 1292 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( G `  P
) )  e.  (
Base `  K )
)
6426, 15, 54olm11 32864 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( ( F `  P )  .\/  ( G `  P )
)  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( ( ( F `
 P )  .\/  ( G `  P ) ) ( meet `  K
) ( 1. `  K ) )  =  ( ( F `  P )  .\/  ( G `  P )
) )
6559, 63, 64syl2anc 673 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( F `  P
)  .\/  ( G `  P ) ) (
meet `  K )
( 1. `  K
) )  =  ( ( F `  P
)  .\/  ( G `  P ) ) )
6657, 65eqtrd 2505 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( F `  P
)  .\/  ( ( G  o.  `' F
) `  ( F `  P ) ) ) ( meet `  K
) ( ( F `
 P )  .\/  W ) )  =  ( ( F `  P
)  .\/  ( G `  P ) ) )
6719, 35, 663eqtrd 2509 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )  =  ( ( F `  P )  .\/  ( G `  P )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   class class class wbr 4395    _I cid 4749   `'ccnv 4838    |` cres 4841    o. ccom 4843   -->wf 5585   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Basecbs 15199   lecple 15275   joincjn 16267   meetcmee 16268   1.cp1 16362   OLcol 32811   Atomscatm 32900   HLchlt 32987   LHypclh 33620   LTrncltrn 33737   trLctrl 33795
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-riotaBAD 32589
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-undef 7038  df-map 7492  df-preset 16251  df-poset 16269  df-plt 16282  df-lub 16298  df-glb 16299  df-join 16300  df-meet 16301  df-p0 16363  df-p1 16364  df-lat 16370  df-clat 16432  df-oposet 32813  df-ol 32815  df-oml 32816  df-covers 32903  df-ats 32904  df-atl 32935  df-cvlat 32959  df-hlat 32988  df-llines 33134  df-lplanes 33135  df-lvols 33136  df-lines 33137  df-psubsp 33139  df-pmap 33140  df-padd 33432  df-lhyp 33624  df-laut 33625  df-ldil 33740  df-ltrn 33741  df-trl 33796
This theorem is referenced by:  cdlemkfid1N  34559
  Copyright terms: Public domain W3C validator