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Theorem trlcoabs2N 34724
Description: Absorption of the trace of a composition. (Contributed by NM, 29-Jul-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
trlcoabs.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
trlcoabs.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
trlcoabs.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
trlcoabs.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
trlcoabs.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
trlcoabs.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
trlcoabs2N  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )  =  ( ( F `  P )  .\/  ( G `  P )
) )

Proof of Theorem trlcoabs2N
StepHypRef Expression
1 simp1 988 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp2r 1015 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  G  e.  T )
3 simp2l 1014 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  F  e.  T )
4 trlcoabs.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 trlcoabs.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
64, 5ltrncnv 34148 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  T )
71, 3, 6syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  `' F  e.  T )
84, 5ltrnco 34721 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  `' F  e.  T
)  ->  ( G  o.  `' F )  e.  T
)
91, 2, 7, 8syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( G  o.  `' F )  e.  T
)
10 trlcoabs.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
11 trlcoabs.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
1210, 11, 4, 5ltrnel 34141 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  e.  A  /\  -.  ( F `  P )  .<_  W ) )
13123adant2r 1214 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  e.  A  /\  -.  ( F `  P )  .<_  W ) )
14 trlcoabs.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
15 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
16 trlcoabs.r . . . . 5  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
1710, 14, 15, 11, 4, 5, 16trlval2 34165 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  o.  `' F )  e.  T  /\  ( ( F `  P )  e.  A  /\  -.  ( F `  P )  .<_  W ) )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  =  ( ( ( F `
 P )  .\/  ( ( G  o.  `' F ) `  ( F `  P )
) ) ( meet `  K ) W ) )
181, 9, 13, 17syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  =  ( ( ( F `
 P )  .\/  ( ( G  o.  `' F ) `  ( F `  P )
) ) ( meet `  K ) W ) )
1918oveq2d 6219 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )  =  ( ( F `  P )  .\/  (
( ( F `  P )  .\/  (
( G  o.  `' F ) `  ( F `  P )
) ) ( meet `  K ) W ) ) )
20 simp1l 1012 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  K  e.  HL )
21 simp3l 1016 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  P  e.  A )
2210, 11, 4, 5ltrnat 34142 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( F `  P )  e.  A
)
231, 3, 21, 22syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( F `  P )  e.  A
)
2410, 11, 4, 5ltrnat 34142 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  o.  `' F )  e.  T  /\  ( F `  P
)  e.  A )  ->  ( ( G  o.  `' F ) `
 ( F `  P ) )  e.  A )
251, 9, 23, 24syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G  o.  `' F
) `  ( F `  P ) )  e.  A )
26 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
2726, 14, 11hlatjcl 33369 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( F `  P )  e.  A  /\  (
( G  o.  `' F ) `  ( F `  P )
)  e.  A )  ->  ( ( F `
 P )  .\/  ( ( G  o.  `' F ) `  ( F `  P )
) )  e.  (
Base `  K )
)
2820, 23, 25, 27syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( ( G  o.  `' F ) `  ( F `  P )
) )  e.  (
Base `  K )
)
29 simp1r 1013 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  W  e.  H )
3026, 4lhpbase 34000 . . . 4  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
3129, 30syl 16 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  W  e.  ( Base `  K )
)
3210, 14, 11hlatlej1 33377 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( F `  P )  e.  A  /\  (
( G  o.  `' F ) `  ( F `  P )
)  e.  A )  ->  ( F `  P )  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( ( G  o.  `' F ) `
 ( F `  P ) ) ) )
3320, 23, 25, 32syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( F `  P )  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( ( G  o.  `' F ) `
 ( F `  P ) ) ) )
3426, 10, 14, 15, 11atmod3i1 33866 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( F `  P )  e.  A  /\  ( ( F `  P )  .\/  (
( G  o.  `' F ) `  ( F `  P )
) )  e.  (
Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K ) )  /\  ( F `  P )  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( ( G  o.  `' F ) `
 ( F `  P ) ) ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( ( ( F `
 P )  .\/  ( ( G  o.  `' F ) `  ( F `  P )
) ) ( meet `  K ) W ) )  =  ( ( ( F `  P
)  .\/  ( ( G  o.  `' F
) `  ( F `  P ) ) ) ( meet `  K
) ( ( F `
 P )  .\/  W ) ) )
3520, 23, 28, 31, 33, 34syl131anc 1232 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( ( ( F `
 P )  .\/  ( ( G  o.  `' F ) `  ( F `  P )
) ) ( meet `  K ) W ) )  =  ( ( ( F `  P
)  .\/  ( ( G  o.  `' F
) `  ( F `  P ) ) ) ( meet `  K
) ( ( F `
 P )  .\/  W ) ) )
3610, 11, 4, 5ltrncoval 34147 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( G  o.  `' F )  e.  T  /\  F  e.  T )  /\  P  e.  A )  ->  (
( ( G  o.  `' F )  o.  F
) `  P )  =  ( ( G  o.  `' F ) `
 ( F `  P ) ) )
371, 9, 3, 21, 36syl121anc 1224 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( G  o.  `' F )  o.  F
) `  P )  =  ( ( G  o.  `' F ) `
 ( F `  P ) ) )
38 coass 5467 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  o.  `' F
)  o.  F )  =  ( G  o.  ( `' F  o.  F
) )
3926, 4, 5ltrn1o 34126 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
401, 3, 39syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  F :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
41 f1ococnv1 5780 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
4240, 41syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
4342coeq2d 5113 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( G  o.  ( `' F  o.  F ) )  =  ( G  o.  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) )
4426, 4, 5ltrn1o 34126 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  G :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
451, 2, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  G :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
46 f1of 5752 . . . . . . . . . 10  |-  ( G : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )  ->  G : ( Base `  K ) --> ( Base `  K ) )
47 fcoi1 5696 . . . . . . . . . 10  |-  ( G : ( Base `  K
) --> ( Base `  K
)  ->  ( G  o.  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  =  G )
4845, 46, 473syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( G  o.  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  =  G )
4943, 48eqtrd 2495 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( G  o.  ( `' F  o.  F ) )  =  G )
5038, 49syl5eq 2507 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G  o.  `' F
)  o.  F )  =  G )
5150fveq1d 5804 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( G  o.  `' F )  o.  F
) `  P )  =  ( G `  P ) )
5237, 51eqtr3d 2497 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G  o.  `' F
) `  ( F `  P ) )  =  ( G `  P
) )
5352oveq2d 6219 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( ( G  o.  `' F ) `  ( F `  P )
) )  =  ( ( F `  P
)  .\/  ( G `  P ) ) )
54 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( 1.
`  K )  =  ( 1. `  K
)
5510, 14, 54, 11, 4lhpjat2 34023 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( F `
 P )  e.  A  /\  -.  ( F `  P )  .<_  W ) )  -> 
( ( F `  P )  .\/  W
)  =  ( 1.
`  K ) )
561, 13, 55syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  W )  =  ( 1. `  K ) )
5753, 56oveq12d 6221 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( F `  P
)  .\/  ( ( G  o.  `' F
) `  ( F `  P ) ) ) ( meet `  K
) ( ( F `
 P )  .\/  W ) )  =  ( ( ( F `  P )  .\/  ( G `  P )
) ( meet `  K
) ( 1. `  K ) ) )
58 hlol 33364 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
5920, 58syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  K  e.  OL )
6010, 11, 4, 5ltrnat 34142 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( G `  P )  e.  A
)
611, 2, 21, 60syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( G `  P )  e.  A
)
6226, 14, 11hlatjcl 33369 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( F `  P )  e.  A  /\  ( G `  P )  e.  A )  ->  (
( F `  P
)  .\/  ( G `  P ) )  e.  ( Base `  K
) )
6320, 23, 61, 62syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( G `  P
) )  e.  (
Base `  K )
)
6426, 15, 54olm11 33230 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( ( F `  P )  .\/  ( G `  P )
)  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( ( ( F `
 P )  .\/  ( G `  P ) ) ( meet `  K
) ( 1. `  K ) )  =  ( ( F `  P )  .\/  ( G `  P )
) )
6559, 63, 64syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( F `  P
)  .\/  ( G `  P ) ) (
meet `  K )
( 1. `  K
) )  =  ( ( F `  P
)  .\/  ( G `  P ) ) )
6657, 65eqtrd 2495 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( F `  P
)  .\/  ( ( G  o.  `' F
) `  ( F `  P ) ) ) ( meet `  K
) ( ( F `
 P )  .\/  W ) )  =  ( ( F `  P
)  .\/  ( G `  P ) ) )
6719, 35, 663eqtrd 2499 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )  =  ( ( F `  P )  .\/  ( G `  P )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4403    _I cid 4742   `'ccnv 4950    |` cres 4953    o. ccom 4955   -->wf 5525   -1-1-onto->wf1o 5528   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Basecbs 14295   lecple 14367   joincjn 15236   meetcmee 15237   1.cp1 15330   OLcol 33177   Atomscatm 33266   HLchlt 33353   LHypclh 33986   LTrncltrn 34103   trLctrl 34160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-riotaBAD 32962
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-undef 6905  df-map 7329  df-poset 15238  df-plt 15250  df-lub 15266  df-glb 15267  df-join 15268  df-meet 15269  df-p0 15331  df-p1 15332  df-lat 15338  df-clat 15400  df-oposet 33179  df-ol 33181  df-oml 33182  df-covers 33269  df-ats 33270  df-atl 33301  df-cvlat 33325  df-hlat 33354  df-llines 33500  df-lplanes 33501  df-lvols 33502  df-lines 33503  df-psubsp 33505  df-pmap 33506  df-padd 33798  df-lhyp 33990  df-laut 33991  df-ldil 34106  df-ltrn 34107  df-trl 34161
This theorem is referenced by:  cdlemkfid1N  34923
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