Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  olm11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem olm11 33532
Description: The meet of an ortholattice element with one equals itself. (chm1i 27699 analog.) (Contributed by NM, 22-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
olm1.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
olm1.m = (meet‘𝐾)
olm1.u 1 = (1.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
olm11 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 1 ) = 𝑋)

Proof of Theorem olm11
StepHypRef Expression
1 olop 33519 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
21adantr 480 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
3 eqid 2610 . . . . . . 7 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
4 olm1.u . . . . . . 7 1 = (1.‘𝐾)
5 eqid 2610 . . . . . . 7 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
63, 4, 5opoc1 33507 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP → ((oc‘𝐾)‘ 1 ) = (0.‘𝐾))
72, 6syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘ 1 ) = (0.‘𝐾))
87oveq2d 6565 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘ 1 )) = (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)(0.‘𝐾)))
9 olm1.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
109, 5opoccl 33499 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
111, 10sylan 487 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
12 eqid 2610 . . . . . 6 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
139, 12, 3olj01 33530 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)(0.‘𝐾)) = ((oc‘𝐾)‘𝑋))
1411, 13syldan 486 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)(0.‘𝐾)) = ((oc‘𝐾)‘𝑋))
158, 14eqtrd 2644 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘ 1 )) = ((oc‘𝐾)‘𝑋))
1615fveq2d 6107 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘ 1 ))) = ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋)))
179, 4op1cl 33490 . . . 4 (𝐾 ∈ OP → 1𝐵)
182, 17syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → 1𝐵)
19 olm1.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
209, 12, 19, 5oldmj4 33529 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵1𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘ 1 ))) = (𝑋 1 ))
2118, 20mpd3an3 1417 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘ 1 ))) = (𝑋 1 ))
229, 5opococ 33500 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
231, 22sylan 487 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
2416, 21, 233eqtr3d 2652 1 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 1 ) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  occoc 15776  joincjn 16767  meetcmee 16768  0.cp0 16860  1.cp1 16861  OPcops 33477  OLcol 33479
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-preset 16751  df-poset 16769  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-oposet 33481  df-ol 33483
This theorem is referenced by:  olm12  33533  lhpmcvr3  34329  trljat1  34471  trljat2  34472  cdlemc1  34496  cdlemc6  34501  cdleme0cp  34519  cdleme0cq  34520  cdleme1  34532  cdleme4  34543  cdleme5  34545  cdleme8  34555  cdleme9  34558  cdleme10  34559  cdleme20c  34617  cdleme20j  34624  cdleme22e  34650  cdleme22eALTN  34651  cdleme30a  34684  cdleme35b  34756  cdleme35e  34759  cdleme42a  34777  trlcoabs2N  35028  trlcolem  35032  cdlemi1  35124  cdlemk4  35140  dia2dimlem1  35371  cdlemn10  35513  dihglbcpreN  35607
  Copyright terms: Public domain W3C validator