Proof of Theorem cdlemc1
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp1l 1078 |
. . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL) |
2 | | hllat 33668 |
. . . 4
⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat) |
3 | 1, 2 | syl 17 |
. . 3
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat) |
4 | | simp3l 1082 |
. . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 ∈ 𝐴) |
5 | | cdlemc1.b |
. . . . 5
⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾) |
6 | | cdlemc1.a |
. . . . 5
⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾) |
7 | 5, 6 | atbase 33594 |
. . . 4
⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵) |
8 | 4, 7 | syl 17 |
. . 3
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 ∈ 𝐵) |
9 | | simp2 1055 |
. . . . 5
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑋 ∈ 𝐵) |
10 | | cdlemc1.j |
. . . . . 6
⊢ ∨ =
(join‘𝐾) |
11 | 5, 10 | latjcl 16874 |
. . . . 5
⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∨ 𝑋) ∈ 𝐵) |
12 | 3, 8, 9, 11 | syl3anc 1318 |
. . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ∨ 𝑋) ∈ 𝐵) |
13 | | simp1r 1079 |
. . . . 5
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑊 ∈ 𝐻) |
14 | | cdlemc1.h |
. . . . . 6
⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾) |
15 | 5, 14 | lhpbase 34302 |
. . . . 5
⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵) |
16 | 13, 15 | syl 17 |
. . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑊 ∈ 𝐵) |
17 | | cdlemc1.m |
. . . . 5
⊢ ∧ =
(meet‘𝐾) |
18 | 5, 17 | latmcl 16875 |
. . . 4
⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((𝑃 ∨ 𝑋) ∧ 𝑊) ∈ 𝐵) |
19 | 3, 12, 16, 18 | syl3anc 1318 |
. . 3
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝑃 ∨ 𝑋) ∧ 𝑊) ∈ 𝐵) |
20 | 5, 10 | latjcom 16882 |
. . 3
⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑋) ∧ 𝑊) ∈ 𝐵) → (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑋) ∧ 𝑊)) = (((𝑃 ∨ 𝑋) ∧ 𝑊) ∨ 𝑃)) |
21 | 3, 8, 19, 20 | syl3anc 1318 |
. 2
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑋) ∧ 𝑊)) = (((𝑃 ∨ 𝑋) ∧ 𝑊) ∨ 𝑃)) |
22 | | cdlemc1.l |
. . . . 5
⊢ ≤ =
(le‘𝐾) |
23 | 5, 22, 10 | latlej1 16883 |
. . . 4
⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑋)) |
24 | 3, 8, 9, 23 | syl3anc 1318 |
. . 3
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑋)) |
25 | 5, 22, 10, 17, 6 | atmod2i1 34165 |
. . 3
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑋)) → (((𝑃 ∨ 𝑋) ∧ 𝑊) ∨ 𝑃) = ((𝑃 ∨ 𝑋) ∧ (𝑊 ∨ 𝑃))) |
26 | 1, 4, 12, 16, 24, 25 | syl131anc 1331 |
. 2
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (((𝑃 ∨ 𝑋) ∧ 𝑊) ∨ 𝑃) = ((𝑃 ∨ 𝑋) ∧ (𝑊 ∨ 𝑃))) |
27 | | eqid 2610 |
. . . . . 6
⊢
(1.‘𝐾) =
(1.‘𝐾) |
28 | 22, 10, 27, 6, 14 | lhpjat1 34324 |
. . . . 5
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑊 ∨ 𝑃) = (1.‘𝐾)) |
29 | 28 | 3adant2 1073 |
. . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑊 ∨ 𝑃) = (1.‘𝐾)) |
30 | 29 | oveq2d 6565 |
. . 3
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝑃 ∨ 𝑋) ∧ (𝑊 ∨ 𝑃)) = ((𝑃 ∨ 𝑋) ∧ (1.‘𝐾))) |
31 | | hlol 33666 |
. . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL) |
32 | 1, 31 | syl 17 |
. . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ OL) |
33 | 5, 17, 27 | olm11 33532 |
. . . 4
⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑃 ∨ 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑃 ∨ 𝑋) ∧ (1.‘𝐾)) = (𝑃 ∨ 𝑋)) |
34 | 32, 12, 33 | syl2anc 691 |
. . 3
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝑃 ∨ 𝑋) ∧ (1.‘𝐾)) = (𝑃 ∨ 𝑋)) |
35 | 30, 34 | eqtrd 2644 |
. 2
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝑃 ∨ 𝑋) ∧ (𝑊 ∨ 𝑃)) = (𝑃 ∨ 𝑋)) |
36 | 21, 26, 35 | 3eqtrd 2648 |
1
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑋) ∧ 𝑊)) = (𝑃 ∨ 𝑋)) |