Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgdim01ln Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgdim01ln 25259
 Description: In geometries of dimension lower than 2, any 3 points are colinear. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglngval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglngval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglngval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglngval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x (𝜑𝑋𝑃)
tglngval.y (𝜑𝑌𝑃)
tgcolg.z (𝜑𝑍𝑃)
tgdim01ln.1 (𝜑 → ¬ 𝐺DimTarskiG≥2)
Assertion
Ref Expression
tgdim01ln (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem tgdim01ln
StepHypRef Expression
1 tglngval.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 tglngval.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
3 tglngval.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 tglngval.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 tglngval.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑃)
76adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑋𝑃)
8 tglngval.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑃)
98adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑌𝑃)
10 tgcolg.z . . . 4 (𝜑𝑍𝑃)
1110adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑍𝑃)
12 simpr 476 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
131, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12btwncolg1 25250 . 2 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑋 = 𝑌))
144adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
156adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝑋𝑃)
168adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝑌𝑃)
1710adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝑍𝑃)
18 simpr 476 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌))
191, 2, 3, 14, 15, 16, 17, 18btwncolg2 25251 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑋 = 𝑌))
204adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
216adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑋𝑃)
228adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑌𝑃)
2310adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑍𝑃)
24 simpr 476 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
251, 2, 3, 20, 21, 22, 23, 24btwncolg3 25252 . 2 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑋 = 𝑌))
26 tgdim01ln.1 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐺DimTarskiG≥2)
271, 3, 4, 26, 6, 8, 10tgdim01 25202 . 2 (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
2813, 19, 25, 27mpjao3dan 1387 1 (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑋 = 𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  2c2 10947  Basecbs 15695  TarskiGcstrkg 25129  DimTarskiG≥cstrkgld 25133  Itvcitv 25135  LineGclng 25136 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-trkgc 25147  df-trkgcb 25149  df-trkgld 25151  df-trkg 25152 This theorem is referenced by:  ncoltgdim2  25260
 Copyright terms: Public domain W3C validator