Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subfacp1lem2b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subfacp1lem2b 30417
 Description: Lemma for subfacp1 30422. Properties of a bijection on 𝐾 augmented with the two-element flip to get a bijection on 𝐾 ∪ {1, 𝑀}. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
derang.d 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (#‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
subfac.n 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
subfacp1lem.a 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}
subfacp1lem1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
subfacp1lem1.m (𝜑𝑀 ∈ (2...(𝑁 + 1)))
subfacp1lem1.x 𝑀 ∈ V
subfacp1lem1.k 𝐾 = ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀})
subfacp1lem2.5 𝐹 = (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩})
subfacp1lem2.6 (𝜑𝐺:𝐾1-1-onto𝐾)
Assertion
Ref Expression
subfacp1lem2b ((𝜑𝑋𝐾) → (𝐹𝑋) = (𝐺𝑋))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑛,𝑥,𝑦,𝐴   𝑓,𝐹,𝑥,𝑦   𝑓,𝑁,𝑛,𝑥,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝐷,𝑛   𝑓,𝐾,𝑛,𝑥,𝑦   𝑓,𝑀,𝑥,𝑦   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑆(𝑓)   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑓,𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑋(𝑥,𝑦,𝑓,𝑛)

Proof of Theorem subfacp1lem2b
StepHypRef Expression
1 derang.d . . . . . 6 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (#‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
2 subfac.n . . . . . 6 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
3 subfacp1lem.a . . . . . 6 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}
4 subfacp1lem1.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
5 subfacp1lem1.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (2...(𝑁 + 1)))
6 subfacp1lem1.x . . . . . 6 𝑀 ∈ V
7 subfacp1lem1.k . . . . . 6 𝐾 = ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀})
8 subfacp1lem2.5 . . . . . 6 𝐹 = (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩})
9 subfacp1lem2.6 . . . . . 6 (𝜑𝐺:𝐾1-1-onto𝐾)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9subfacp1lem2a 30416 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ (𝐹‘1) = 𝑀 ∧ (𝐹𝑀) = 1))
1110simp1d 1066 . . . 4 (𝜑𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)))
12 f1ofun 6052 . . . 4 (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) → Fun 𝐹)
1311, 12syl 17 . . 3 (𝜑 → Fun 𝐹)
1413adantr 480 . 2 ((𝜑𝑋𝐾) → Fun 𝐹)
15 ssun1 3738 . . . 4 𝐺 ⊆ (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩})
1615, 8sseqtr4i 3601 . . 3 𝐺𝐹
1716a1i 11 . 2 ((𝜑𝑋𝐾) → 𝐺𝐹)
18 f1odm 6054 . . . . 5 (𝐺:𝐾1-1-onto𝐾 → dom 𝐺 = 𝐾)
199, 18syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐺 = 𝐾)
2019eleq2d 2673 . . 3 (𝜑 → (𝑋 ∈ dom 𝐺𝑋𝐾))
2120biimpar 501 . 2 ((𝜑𝑋𝐾) → 𝑋 ∈ dom 𝐺)
22 funssfv 6119 . 2 ((Fun 𝐹𝐺𝐹𝑋 ∈ dom 𝐺) → (𝐹𝑋) = (𝐺𝑋))
2314, 17, 21, 22syl3anc 1318 1 ((𝜑𝑋𝐾) → (𝐹𝑋) = (𝐺𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {cab 2596   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540  {csn 4125  {cpr 4127  ⟨cop 4131   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  Fun wfun 5798  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  1c1 9816   + caddc 9818  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  ...cfz 12197  #chash 12979 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980 This theorem is referenced by:  subfacp1lem3  30418  subfacp1lem4  30419  subfacp1lem5  30420
 Copyright terms: Public domain W3C validator