Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subfacp1lem2b Structured version   Unicode version

Theorem subfacp1lem2b 27206
Description: Lemma for subfacp1 27211. Properties of a bijection on  K augmented with the two-element flip to get a bijection on  K  u.  {
1 ,  M }. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
derang.d  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
subfac.n  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( D `  ( 1 ... n ) ) )
subfacp1lem.a  |-  A  =  { f  |  ( f : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  + 
1 ) )  /\  A. y  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ( f `  y )  =/=  y ) }
subfacp1lem1.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
subfacp1lem1.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 2 ... ( N  + 
1 ) ) )
subfacp1lem1.x  |-  M  e. 
_V
subfacp1lem1.k  |-  K  =  ( ( 2 ... ( N  +  1 ) )  \  { M } )
subfacp1lem2.5  |-  F  =  ( G  u.  { <. 1 ,  M >. , 
<. M ,  1 >. } )
subfacp1lem2.6  |-  ( ph  ->  G : K -1-1-onto-> K )
Assertion
Ref Expression
subfacp1lem2b  |-  ( (
ph  /\  X  e.  K )  ->  ( F `  X )  =  ( G `  X ) )
Distinct variable groups:    f, n, x, y, A    f, F, x, y    f, N, n, x, y    ph, x, y    D, n    f, K, n, x, y    f, M, x, y    S, n, x, y
Allowed substitution hints:    ph( f, n)    D( x, y, f)    S( f)    F( n)    G( x, y, f, n)    M( n)    X( x, y, f, n)

Proof of Theorem subfacp1lem2b
StepHypRef Expression
1 derang.d . . . . . 6  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
2 subfac.n . . . . . 6  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( D `  ( 1 ... n ) ) )
3 subfacp1lem.a . . . . . 6  |-  A  =  { f  |  ( f : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  + 
1 ) )  /\  A. y  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ( f `  y )  =/=  y ) }
4 subfacp1lem1.n . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
5 subfacp1lem1.m . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 2 ... ( N  + 
1 ) ) )
6 subfacp1lem1.x . . . . . 6  |-  M  e. 
_V
7 subfacp1lem1.k . . . . . 6  |-  K  =  ( ( 2 ... ( N  +  1 ) )  \  { M } )
8 subfacp1lem2.5 . . . . . 6  |-  F  =  ( G  u.  { <. 1 ,  M >. , 
<. M ,  1 >. } )
9 subfacp1lem2.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : K -1-1-onto-> K )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9subfacp1lem2a 27205 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  +  1 ) )  /\  ( F ` 
1 )  =  M  /\  ( F `  M )  =  1 ) )
1110simp1d 1000 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )
12 f1ofun 5744 . . . 4  |-  ( F : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  Fun  F )
1311, 12syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  Fun  F )
1413adantr 465 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  K )  ->  Fun  F )
15 ssun1 3620 . . . 4  |-  G  C_  ( G  u.  { <. 1 ,  M >. , 
<. M ,  1 >. } )
1615, 8sseqtr4i 3490 . . 3  |-  G  C_  F
1716a1i 11 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  K )  ->  G  C_  F )
18 f1odm 5746 . . . . 5  |-  ( G : K -1-1-onto-> K  ->  dom  G  =  K )
199, 18syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  G  =  K )
2019eleq2d 2521 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  e.  dom  G  <-> 
X  e.  K ) )
2120biimpar 485 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  K )  ->  X  e.  dom  G )
22 funssfv 5807 . 2  |-  ( ( Fun  F  /\  G  C_  F  /\  X  e. 
dom  G )  -> 
( F `  X
)  =  ( G `
 X ) )
2314, 17, 21, 22syl3anc 1219 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  K )  ->  ( F `  X )  =  ( G `  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   {cab 2436    =/= wne 2644   A.wral 2795   _Vcvv 3071    \ cdif 3426    u. cun 3427    C_ wss 3429   {csn 3978   {cpr 3980   <.cop 3984    |-> cmpt 4451   dom cdm 4941   Fun wfun 5513   -1-1-onto->wf1o 5518   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   Fincfn 7413   1c1 9387    + caddc 9389   NNcn 10426   2c2 10475   NN0cn0 10683   ...cfz 11547   #chash 12213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-card 8213  df-cda 8441  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-2 10484  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-fz 11548  df-hash 12214
This theorem is referenced by:  subfacp1lem3  27207  subfacp1lem4  27208  subfacp1lem5  27209
  Copyright terms: Public domain W3C validator