Theorem ringcom 18402

Description: Commutativity of the additive group of a ring. (See also lmodcom 18732.) (Contributed by Gérard Lang, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringacl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringacl.p	⊢ + = (+g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringcom	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Proof of Theorem ringcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1054	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringacl.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4	2, 3	ringidcl 18391	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
6		ringacl.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ + = (+g‘𝑅)
7	2, 6	ringacl 18401	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)
8	1, 5, 5, 7	syl3anc 1318	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)
9		simp2 1055	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		simp3 1056	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
11		eqid 2610	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12	2, 6, 11	ringdi 18389	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌)) = ((((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋) + (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑌)))
13	1, 8, 9, 10, 12	syl13anc 1320	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌)) = ((((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋) + (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑌)))
14	2, 6	ringacl 18401	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
15	2, 6, 11	ringdir 18390	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)) → (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌)) = (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌))))
16	1, 5, 5, 14, 15	syl13anc 1320	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌)) = (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌))))
17	13, 16	eqtr3d 2646	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋) + (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑌)) = (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌))))
18	2, 6, 11	ringdir 18390	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋) = (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋) + ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋)))
19	1, 5, 5, 9, 18	syl13anc 1320	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋) = (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋) + ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋)))
20	2, 11, 3	ringlidm 18394	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑋)
21	1, 9, 20	syl2anc 691	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑋)
22	21, 21	oveq12d 6567	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋) + ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋)) = (𝑋 + 𝑋))
23	19, 22	eqtrd 2644	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋) = (𝑋 + 𝑋))
24	2, 6, 11	ringdir 18390	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑌) = (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑌) + ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑌)))
25	1, 5, 5, 10, 24	syl13anc 1320	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑌) = (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑌) + ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑌)))
26	2, 11, 3	ringlidm 18394	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑌)
27	1, 10, 26	syl2anc 691	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑌)
28	27, 27	oveq12d 6567	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑌) + ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑌)) = (𝑌 + 𝑌))
29	25, 28	eqtrd 2644	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑌) = (𝑌 + 𝑌))
30	23, 29	oveq12d 6567	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋) + (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑌)) = ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)))
31	2, 11, 3	ringlidm 18394	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + 𝑌))
32	1, 14, 31	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + 𝑌))
33	32, 32	oveq12d 6567	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌))) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
34	17, 30, 33	3eqtr3d 2652	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
35		ringgrp 18375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
36	1, 35	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
37	2, 6	ringacl 18401	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐵)
38	1, 9, 9, 37	syl3anc 1318	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐵)
39	2, 6	grpass 17254	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)))
40	36, 38, 10, 10, 39	syl13anc 1320	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)))
41	2, 6	grpass 17254	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
42	36, 14, 9, 10, 41	syl13anc 1320	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
43	34, 40, 42	3eqtr4d 2654	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌))
44	2, 6	ringacl 18401	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝐵)
45	1, 38, 10, 44	syl3anc 1318	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝐵)
46	2, 6	ringacl 18401	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) ∈ 𝐵)
47	1, 14, 9, 46	syl3anc 1318	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) ∈ 𝐵)
48	2, 6	grprcan 17278	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) ↔ ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋)))
49	36, 45, 47, 10, 48	syl13anc 1320	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) ↔ ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋)))
50	43, 49	mpbid 221	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋))
51	2, 6	grpass 17254	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = (𝑋 + (𝑋 + 𝑌)))
52	36, 9, 9, 10, 51	syl13anc 1320	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = (𝑋 + (𝑋 + 𝑌)))
53	2, 6	grpass 17254	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)))
54	36, 9, 10, 9, 53	syl13anc 1320	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)))
55	50, 52, 54	3eqtr3d 2652	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)))
56	2, 6	ringacl 18401	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵)
57	56	3com23 1263	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵)
58	2, 6	grplcan 17300	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) ↔ (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)))
59	36, 14, 57, 9, 58	syl13anc 1320	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) ↔ (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)))
60	55, 59	mpbid 221	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +_gcplusg 15768  ._rcmulr 15769  Grpcgrp 17245  1_rcur 18324  Ringcrg 18370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372

This theorem is referenced by:  ringabl  18403