Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  remetdval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem remetdval 22400
 Description: Value of the distance function of the metric space of real numbers. (Contributed by NM, 16-May-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
remet.1 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
remetdval ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐷𝐵) = (abs‘(𝐴𝐵)))

Proof of Theorem remetdval
StepHypRef Expression
1 df-ov 6552 . . 3 (𝐴𝐷𝐵) = (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
2 remet.1 . . . 4 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
32fveq1i 6104 . . 3 (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
41, 3eqtri 2632 . 2 (𝐴𝐷𝐵) = (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
5 opelxpi 5072 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
6 fvres 6117 . . . 4 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (ℝ × ℝ) → (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((abs ∘ − )‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
75, 6syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((abs ∘ − )‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
8 df-ov 6552 . . . 4 (𝐴(abs ∘ − )𝐵) = ((abs ∘ − )‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
9 recn 9905 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
10 recn 9905 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
11 eqid 2610 . . . . . 6 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
1211cnmetdval 22384 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴(abs ∘ − )𝐵) = (abs‘(𝐴𝐵)))
139, 10, 12syl2an 493 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(abs ∘ − )𝐵) = (abs‘(𝐴𝐵)))
148, 13syl5eqr 2658 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs ∘ − )‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (abs‘(𝐴𝐵)))
157, 14eqtrd 2644 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (abs‘(𝐴𝐵)))
164, 15syl5eq 2656 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐷𝐵) = (abs‘(𝐴𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ⟨cop 4131   × cxp 5036   ↾ cres 5040   ∘ ccom 5042  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814   − cmin 10145  abscabs 13822 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-sub 10147 This theorem is referenced by:  bl2ioo  22403  xrsdsre  22421  reconnlem2  22438  rrxdstprj1  23000  dvlip2  23562  nmcvcn  26934  poimirlem29  32608  rrndstprj1  32799  rrndstprj2  32800  rrncmslem  32801  ismrer1  32807  rrnprjdstle  39197
 Copyright terms: Public domain W3C validator