Theorem pwcda1 8899

Description: The sum of a powerset with itself is equipotent to the successor powerset. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pwcda1	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜))

Proof of Theorem pwcda1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 7454	. . . 4 ⊢ 1𝑜 ∈ On
2		pwcdaen 8890	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1𝑜 ∈ On) → 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 1𝑜))
3	1, 2	mpan2 703	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 1𝑜))
4		pwpw0 4284	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
5		df1o2 7459	. . . . . . 7 ⊢ 1𝑜 = {∅}
6	5	pweqi 4112	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 1𝑜 = 𝒫 {∅}
7		df2o2 7461	. . . . . 6 ⊢ 2𝑜 = {∅, {∅}}
8	4, 6, 7	3eqtr4i 2642	. . . . 5 ⊢ 𝒫 1𝑜 = 2𝑜
9	8	xpeq2i 5060	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐴 × 𝒫 1𝑜) = (𝒫 𝐴 × 2𝑜)
10		pwexg 4776	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
11		xp2cda 8885	. . . . 5 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ V → (𝒫 𝐴 × 2𝑜) = (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴))
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝒫 𝐴 × 2𝑜) = (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴))
13	9, 12	syl5eq 2656	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝒫 𝐴 × 𝒫 1𝑜) = (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴))
14	3, 13	breqtrd 4609	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴))
15	14	ensymd 7893	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  {csn 4125  {cpr 4127   class class class wbr 4583   × cxp 5036  Oncon0 5640  (class class class)co 6549  1_𝑜c1o 7440  2_𝑜c2o 7441   ≈ cen 7838   +_𝑐 ccda 8872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-1o 7447  df-2o 7448  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-cda 8873

This theorem is referenced by:  pwcdaidm  8900  cdalepw  8901  pwsdompw  8909  gchcdaidm  9369  gchpwdom  9371