MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtr3ncomlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtr3ncomlem1 17716
Description: Lemma 1 for pmtr3ncom 17718. (Contributed by AV, 17-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtr3ncom.t 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtr3ncom.f 𝐹 = (𝑇‘{𝑋, 𝑌})
pmtr3ncom.g 𝐺 = (𝑇‘{𝑌, 𝑍})
Assertion
Ref Expression
pmtr3ncomlem1 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ((𝐺𝐹)‘𝑋) ≠ ((𝐹𝐺)‘𝑋))

Proof of Theorem pmtr3ncomlem1
StepHypRef Expression
1 necom 2835 . . . . 5 (𝑌𝑍𝑍𝑌)
21biimpi 205 . . . 4 (𝑌𝑍𝑍𝑌)
323ad2ant3 1077 . . 3 ((𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍) → 𝑍𝑌)
433ad2ant3 1077 . 2 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝑍𝑌)
5 simp1 1054 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝐷𝑉)
6 simp1 1054 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) → 𝑋𝐷)
763ad2ant2 1076 . . . . . . . . 9 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝑋𝐷)
8 simp2 1055 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) → 𝑌𝐷)
983ad2ant2 1076 . . . . . . . . 9 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝑌𝐷)
10 prssi 4293 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐷𝑌𝐷) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐷)
117, 9, 10syl2anc 691 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐷)
12 simp1 1054 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍) → 𝑋𝑌)
13123ad2ant3 1077 . . . . . . . . . 10 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝑋𝑌)
147, 9, 133jca 1235 . . . . . . . . 9 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌))
15 pr2nelem 8710 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌) → {𝑋, 𝑌} ≈ 2𝑜)
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → {𝑋, 𝑌} ≈ 2𝑜)
175, 11, 163jca 1235 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (𝐷𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑋, 𝑌} ≈ 2𝑜))
18 pmtr3ncom.t . . . . . . . 8 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
1918pmtrf 17698 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑋, 𝑌} ≈ 2𝑜) → (𝑇‘{𝑋, 𝑌}):𝐷𝐷)
2017, 19syl 17 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (𝑇‘{𝑋, 𝑌}):𝐷𝐷)
21 pmtr3ncom.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑇‘{𝑋, 𝑌})
2221feq1i 5949 . . . . . 6 (𝐹:𝐷𝐷 ↔ (𝑇‘{𝑋, 𝑌}):𝐷𝐷)
2320, 22sylibr 223 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝐹:𝐷𝐷)
24 ffn 5958 . . . . 5 (𝐹:𝐷𝐷𝐹 Fn 𝐷)
2523, 24syl 17 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝐹 Fn 𝐷)
26 fvco2 6183 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐷𝑋𝐷) → ((𝐺𝐹)‘𝑋) = (𝐺‘(𝐹𝑋)))
2725, 7, 26syl2anc 691 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ((𝐺𝐹)‘𝑋) = (𝐺‘(𝐹𝑋)))
2821fveq1i 6104 . . . . 5 (𝐹𝑋) = ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑋)
2918pmtrprfv 17696 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑋) = 𝑌)
305, 14, 29syl2anc 691 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑋) = 𝑌)
3128, 30syl5eq 2656 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (𝐹𝑋) = 𝑌)
3231fveq2d 6107 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (𝐺‘(𝐹𝑋)) = (𝐺𝑌))
33 pmtr3ncom.g . . . . 5 𝐺 = (𝑇‘{𝑌, 𝑍})
3433fveq1i 6104 . . . 4 (𝐺𝑌) = ((𝑇‘{𝑌, 𝑍})‘𝑌)
35 simp3 1056 . . . . . . 7 ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) → 𝑍𝐷)
36353ad2ant2 1076 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝑍𝐷)
37 simp3 1056 . . . . . . 7 ((𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍) → 𝑌𝑍)
38373ad2ant3 1077 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝑌𝑍)
399, 36, 383jca 1235 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (𝑌𝐷𝑍𝐷𝑌𝑍))
4018pmtrprfv 17696 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑌𝐷𝑍𝐷𝑌𝑍)) → ((𝑇‘{𝑌, 𝑍})‘𝑌) = 𝑍)
415, 39, 40syl2anc 691 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ((𝑇‘{𝑌, 𝑍})‘𝑌) = 𝑍)
4234, 41syl5eq 2656 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (𝐺𝑌) = 𝑍)
4327, 32, 423eqtrd 2648 . 2 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ((𝐺𝐹)‘𝑋) = 𝑍)
44 prssi 4293 . . . . . . . . 9 ((𝑌𝐷𝑍𝐷) → {𝑌, 𝑍} ⊆ 𝐷)
458, 35, 44syl2anc 691 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) → {𝑌, 𝑍} ⊆ 𝐷)
46453ad2ant2 1076 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → {𝑌, 𝑍} ⊆ 𝐷)
47 pr2nelem 8710 . . . . . . . 8 ((𝑌𝐷𝑍𝐷𝑌𝑍) → {𝑌, 𝑍} ≈ 2𝑜)
4839, 47syl 17 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → {𝑌, 𝑍} ≈ 2𝑜)
495, 46, 483jca 1235 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (𝐷𝑉 ∧ {𝑌, 𝑍} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑌, 𝑍} ≈ 2𝑜))
5018pmtrf 17698 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ {𝑌, 𝑍} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑌, 𝑍} ≈ 2𝑜) → (𝑇‘{𝑌, 𝑍}):𝐷𝐷)
5133feq1i 5949 . . . . . . 7 (𝐺:𝐷𝐷 ↔ (𝑇‘{𝑌, 𝑍}):𝐷𝐷)
5250, 51sylibr 223 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ {𝑌, 𝑍} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑌, 𝑍} ≈ 2𝑜) → 𝐺:𝐷𝐷)
5349, 52syl 17 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝐺:𝐷𝐷)
54 ffn 5958 . . . . 5 (𝐺:𝐷𝐷𝐺 Fn 𝐷)
5553, 54syl 17 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝐺 Fn 𝐷)
56 fvco2 6183 . . . 4 ((𝐺 Fn 𝐷𝑋𝐷) → ((𝐹𝐺)‘𝑋) = (𝐹‘(𝐺𝑋)))
5755, 7, 56syl2anc 691 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ((𝐹𝐺)‘𝑋) = (𝐹‘(𝐺𝑋)))
5833fveq1i 6104 . . . . 5 (𝐺𝑋) = ((𝑇‘{𝑌, 𝑍})‘𝑋)
59 id 22 . . . . . 6 (𝐷𝑉𝐷𝑉)
60 3anrot 1036 . . . . . . 7 ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ↔ (𝑌𝐷𝑍𝐷𝑋𝐷))
6160biimpi 205 . . . . . 6 ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) → (𝑌𝐷𝑍𝐷𝑋𝐷))
62 3anrot 1036 . . . . . . 7 ((𝑌𝑍𝑌𝑋𝑍𝑋) ↔ (𝑌𝑋𝑍𝑋𝑌𝑍))
63 necom 2835 . . . . . . . 8 (𝑌𝑋𝑋𝑌)
64 necom 2835 . . . . . . . 8 (𝑍𝑋𝑋𝑍)
65 biid 250 . . . . . . . 8 (𝑌𝑍𝑌𝑍)
6663, 64, 653anbi123i 1244 . . . . . . 7 ((𝑌𝑋𝑍𝑋𝑌𝑍) ↔ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍))
6762, 66sylbbr 225 . . . . . 6 ((𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍) → (𝑌𝑍𝑌𝑋𝑍𝑋))
6818pmtrprfv3 17697 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑌𝐷𝑍𝐷𝑋𝐷) ∧ (𝑌𝑍𝑌𝑋𝑍𝑋)) → ((𝑇‘{𝑌, 𝑍})‘𝑋) = 𝑋)
6959, 61, 67, 68syl3an 1360 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ((𝑇‘{𝑌, 𝑍})‘𝑋) = 𝑋)
7058, 69syl5eq 2656 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (𝐺𝑋) = 𝑋)
7170fveq2d 6107 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (𝐹‘(𝐺𝑋)) = (𝐹𝑋))
7257, 71, 313eqtrd 2648 . 2 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ((𝐹𝐺)‘𝑋) = 𝑌)
734, 43, 723netr4d 2859 1 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ((𝐺𝐹)‘𝑋) ≠ ((𝐹𝐺)‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wss 3540  {cpr 4127   class class class wbr 4583  ccom 5042   Fn wfn 5799  wf 5800  cfv 5804  2𝑜c2o 7441  cen 7838  pmTrspcpmtr 17684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-om 6958  df-1o 7447  df-2o 7448  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pmtr 17685
This theorem is referenced by:  pmtr3ncomlem2  17717
  Copyright terms: Public domain W3C validator