Theorem pmtrprfv3 17697

Description: In a transposition of two given points, all other points are mapped to themselves. (Contributed by AV, 17-Mar-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
pmtrfval.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
pmtrprfv3	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑍) = 𝑍)

Proof of Theorem pmtrprfv3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1054	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
2		simp1 1054	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) → 𝑋 ∈ 𝐷)
3	2	3ad2ant2 1076	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → 𝑋 ∈ 𝐷)
4		simp22 1088	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → 𝑌 ∈ 𝐷)
5		prssi 4293	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐷)
6	3, 4, 5	syl2anc 691	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐷)
7		pr2nelem 8710	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ≈ 2𝑜)
8	7	3expia 1259	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) → (𝑋 ≠ 𝑌 → {𝑋, 𝑌} ≈ 2𝑜))
9	8	3adant3 1074	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) → (𝑋 ≠ 𝑌 → {𝑋, 𝑌} ≈ 2𝑜))
10	9	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑌 → ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) → {𝑋, 𝑌} ≈ 2𝑜))
11	10	3ad2ant1 1075	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) → {𝑋, 𝑌} ≈ 2𝑜))
12	11	impcom 445	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → {𝑋, 𝑌} ≈ 2𝑜)
13	12	3adant1 1072	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → {𝑋, 𝑌} ≈ 2𝑜)
14		simp23 1089	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝐷)
15		pmtrfval.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
16	15	pmtrfv 17695	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑋, 𝑌} ≈ 2𝑜) ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑍) = if(𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌}, ∪ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑍}), 𝑍))
17	1, 6, 13, 14, 16	syl31anc 1321	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑍) = if(𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌}, ∪ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑍}), 𝑍))
18		necom 2835	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑍 ↔ 𝑍 ≠ 𝑋)
19	18	biimpi 205	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑍 → 𝑍 ≠ 𝑋)
20	19	3ad2ant2 1076	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑍 ≠ 𝑋)
21	20	3ad2ant3 1077	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → 𝑍 ≠ 𝑋)
22		necom 2835	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ≠ 𝑍 ↔ 𝑍 ≠ 𝑌)
23	22	biimpi 205	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ≠ 𝑍 → 𝑍 ≠ 𝑌)
24	23	3ad2ant3 1077	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑍 ≠ 𝑌)
25	24	3ad2ant3 1077	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → 𝑍 ≠ 𝑌)
26	21, 25	nelprd 4151	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → ¬ 𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌})
27	26	iffalsed 4047	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → if(𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌}, ∪ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑍}), 𝑍) = 𝑍)
28	17, 27	eqtrd 2644	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑍) = 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  ifcif 4036  {csn 4125  {cpr 4127  ∪ cuni 4372   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  2_𝑜c2o 7441   ≈ cen 7838  pmTrspcpmtr 17684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-om 6958  df-1o 7447  df-2o 7448  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pmtr 17685

This theorem is referenced by:  pmtr3ncomlem1  17716  psgnfzto1stlem  29181