Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrprfv3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrprfv3 17697
 Description: In a transposition of two given points, all other points are mapped to themselves. (Contributed by AV, 17-Mar-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
pmtrfval.t 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
pmtrprfv3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑍) = 𝑍)

Proof of Theorem pmtrprfv3
StepHypRef Expression
1 simp1 1054 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝐷𝑉)
2 simp1 1054 . . . . 5 ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) → 𝑋𝐷)
323ad2ant2 1076 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝑋𝐷)
4 simp22 1088 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝑌𝐷)
5 prssi 4293 . . . 4 ((𝑋𝐷𝑌𝐷) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐷)
63, 4, 5syl2anc 691 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐷)
7 pr2nelem 8710 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌) → {𝑋, 𝑌} ≈ 2𝑜)
873expia 1259 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐷𝑌𝐷) → (𝑋𝑌 → {𝑋, 𝑌} ≈ 2𝑜))
983adant3 1074 . . . . . . 7 ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) → (𝑋𝑌 → {𝑋, 𝑌} ≈ 2𝑜))
109com12 32 . . . . . 6 (𝑋𝑌 → ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) → {𝑋, 𝑌} ≈ 2𝑜))
11103ad2ant1 1075 . . . . 5 ((𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍) → ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) → {𝑋, 𝑌} ≈ 2𝑜))
1211impcom 445 . . . 4 (((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → {𝑋, 𝑌} ≈ 2𝑜)
13123adant1 1072 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → {𝑋, 𝑌} ≈ 2𝑜)
14 simp23 1089 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝑍𝐷)
15 pmtrfval.t . . . 4 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
1615pmtrfv 17695 . . 3 (((𝐷𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑋, 𝑌} ≈ 2𝑜) ∧ 𝑍𝐷) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑍) = if(𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌}, ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑍}), 𝑍))
171, 6, 13, 14, 16syl31anc 1321 . 2 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑍) = if(𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌}, ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑍}), 𝑍))
18 necom 2835 . . . . . . 7 (𝑋𝑍𝑍𝑋)
1918biimpi 205 . . . . . 6 (𝑋𝑍𝑍𝑋)
20193ad2ant2 1076 . . . . 5 ((𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍) → 𝑍𝑋)
21203ad2ant3 1077 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝑍𝑋)
22 necom 2835 . . . . . . 7 (𝑌𝑍𝑍𝑌)
2322biimpi 205 . . . . . 6 (𝑌𝑍𝑍𝑌)
24233ad2ant3 1077 . . . . 5 ((𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍) → 𝑍𝑌)
25243ad2ant3 1077 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝑍𝑌)
2621, 25nelprd 4151 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ¬ 𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌})
2726iffalsed 4047 . 2 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → if(𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌}, ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑍}), 𝑍) = 𝑍)
2817, 27eqtrd 2644 1 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑍) = 𝑍)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  ifcif 4036  {csn 4125  {cpr 4127  ∪ cuni 4372   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  2𝑜c2o 7441   ≈ cen 7838  pmTrspcpmtr 17684 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-om 6958  df-1o 7447  df-2o 7448  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pmtr 17685 This theorem is referenced by:  pmtr3ncomlem1  17716  psgnfzto1stlem  29181
 Copyright terms: Public domain W3C validator