Theorem pmtr3ncomlem2 17717

Description: Lemma 2 for pmtr3ncom 17718. (Contributed by AV, 17-Mar-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtr3ncom.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtr3ncom.f	⊢ 𝐹 = (𝑇‘{𝑋, 𝑌})
pmtr3ncom.g	⊢ 𝐺 = (𝑇‘{𝑌, 𝑍})

Assertion

Ref	Expression
pmtr3ncomlem2	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → (𝐺 ∘ 𝐹) ≠ (𝐹 ∘ 𝐺))

Proof of Theorem pmtr3ncomlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtr3ncom.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
2		pmtr3ncom.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑇‘{𝑋, 𝑌})
3		pmtr3ncom.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑇‘{𝑌, 𝑍})
4	1, 2, 3	pmtr3ncomlem1 17716	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑋) ≠ ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑋))
5		fveq1 6102	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∘ 𝐹) = (𝐹 ∘ 𝐺) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑋) = ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑋))
6	5	necon3i 2814	. 2 ⊢ (((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑋) ≠ ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑋) → (𝐺 ∘ 𝐹) ≠ (𝐹 ∘ 𝐺))
7	4, 6	syl 17	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → (𝐺 ∘ 𝐹) ≠ (𝐹 ∘ 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  {cpr 4127   ∘ ccom 5042  ‘cfv 5804  pmTrspcpmtr 17684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-om 6958  df-1o 7447  df-2o 7448  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pmtr 17685

This theorem is referenced by:  pmtr3ncom  17718