Theorem ovolsplit 38881

Description: The Lebesgue outer measure function is finitely sub-additive: application to a set split in two parts, using addition for extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
ovolsplit.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ovolsplit	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))

Proof of Theorem ovolsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inundif 3998	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = 𝐴
2	1	eqcomi 2619	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)))
4	3	fveq2d 6107	. 2 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))))
5		ovolsplit.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
6	5	ssinss1d 38239	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ℝ)
7	5	ssdifssd 3710	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ)
8	6, 7	unssd 3751	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) ⊆ ℝ)
9		ovolcl 23053	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) ⊆ ℝ → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ∈ ℝ*)
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ∈ ℝ*)
11		pnfge 11840	. . . . . 6 ⊢ ((vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ∈ ℝ* → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ +∞)
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ +∞)
13	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ +∞)
14		oveq1 6556	. . . . . 6 ⊢ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞ → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = (+∞ +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
15	14	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = (+∞ +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
16		ovolcl 23053	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ*)
17	7, 16	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ*)
18	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ*)
19		reex 9906	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℝ ∈ V
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
21	20, 5	ssexd 4733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
22		difexg 4735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V)
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V)
24		elpwg 4116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V → ((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝒫 ℝ ↔ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ))
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝒫 ℝ ↔ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ))
26	7, 25	mpbird 246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝒫 ℝ)
27		ovolf 23057	. . . . . . . . . 10 ⊢ vol*:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞)
28	27	ffvelrni 6266	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝒫 ℝ → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
29	26, 28	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
30	29	xrge0nemnfd 38489	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ≠ -∞)
31	30	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ≠ -∞)
32		xaddpnf2 11932	. . . . . 6 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = +∞)
33	18, 31, 32	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → (+∞ +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = +∞)
34	15, 33	eqtr2d 2645	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → +∞ = ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
35	13, 34	breqtrd 4609	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
36		simpl 472	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → 𝜑)
37	20, 6	sselpwd 4734	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝒫 ℝ)
38	27	ffvelrni 6266	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝒫 ℝ → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
39	37, 38	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
40	39	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
41		neqne 2790	. . . . . 6 ⊢ (¬ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞ → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ≠ +∞)
42	41	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ≠ +∞)
43		ge0xrre 38605	. . . . 5 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞) ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ≠ +∞) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ)
44	40, 42, 43	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ)
45	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ +∞)
46		oveq2 6557	. . . . . . . . 9 ⊢ ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞ → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 +∞))
47	46	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 +∞))
48		ovolcl 23053	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ℝ → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ*)
49	6, 48	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ*)
50	39	xrge0nemnfd 38489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ≠ -∞)
51		xaddpnf1 11931	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ≠ -∞) → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 +∞) = +∞)
52	49, 50, 51	syl2anc 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 +∞) = +∞)
53	52	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 +∞) = +∞)
54	47, 53	eqtr2d 2645	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → +∞ = ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
55	45, 54	breqtrd 4609	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
56	55	adantlr 747	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
57		simpll 786	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → 𝜑)
58		simplr 788	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ)
59	29	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
60		neqne 2790	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞ → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ≠ +∞)
61	60	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ≠ +∞)
62		ge0xrre 38605	. . . . . . . 8 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞) ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ≠ +∞) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)
63	59, 61, 62	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)
64	63	adantlr 747	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)
65	6	3ad2ant1 1075	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ℝ)
66		simp2 1055	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ)
67	7	3ad2ant1 1075	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ)
68		simp3 1056	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)
69		ovolun 23074	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
70	65, 66, 67, 68, 69	syl22anc 1319	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
71		rexadd 11937	. . . . . . . . 9 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ) → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
72	71	eqcomd 2616	. . . . . . . 8 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ) → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
73	72	3adant1 1072	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ) → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
74	70, 73	breqtrd 4609	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
75	57, 58, 64, 74	syl3anc 1318	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
76	56, 75	pm2.61dan 828	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
77	36, 44, 76	syl2anc 691	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
78	35, 77	pm2.61dan 828	. 2 ⊢ (𝜑 → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
79	4, 78	eqbrtrd 4605	1 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  𝒫 cpw 4108   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815   + caddc 9818  +∞cpnf 9950  -∞cmnf 9951  ℝ^*cxr 9952   ≤ cle 9954   +_𝑒 cxad 11820  [,]cicc 12049  vol*covol 23038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-ovol 23040

This theorem is referenced by:  ismbl4  38886