Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nbumgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nbumgr 40569
 Description: The set of neighbors of an arbitrary class in a multigraph. (Contributed by AV, 27-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
nbgrel.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
nbgrel.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
nbumgr (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑛𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸})
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺   𝑛,𝑁   𝑛,𝑉   𝑛,𝐸

Proof of Theorem nbumgr
StepHypRef Expression
1 nbgrel.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 nbgrel.e . . . 4 𝐸 = (Edg‘𝐺)
31, 2nbumgrvtx 40568 . . 3 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑛𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸})
43expcom 450 . 2 (𝑁𝑉 → (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑛𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸}))
5 df-nel 2783 . . . . . 6 (𝑁𝑉 ↔ ¬ 𝑁𝑉)
61nbgrnvtx0 40563 . . . . . 6 (𝑁𝑉 → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = ∅)
75, 6sylbir 224 . . . . 5 𝑁𝑉 → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = ∅)
87adantr 480 . . . 4 ((¬ 𝑁𝑉𝐺 ∈ UMGraph ) → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = ∅)
91, 2umgrpredgav 25813 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸) → (𝑁𝑉𝑛𝑉))
109simpld 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸) → 𝑁𝑉)
1110ex 449 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ UMGraph → ({𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸𝑁𝑉))
1211adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑛𝑉𝐺 ∈ UMGraph ) → ({𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸𝑁𝑉))
1312con3d 147 . . . . . . . . 9 ((𝑛𝑉𝐺 ∈ UMGraph ) → (¬ 𝑁𝑉 → ¬ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸))
1413ex 449 . . . . . . . 8 (𝑛𝑉 → (𝐺 ∈ UMGraph → (¬ 𝑁𝑉 → ¬ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸)))
1514com13 86 . . . . . . 7 𝑁𝑉 → (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑛𝑉 → ¬ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸)))
1615imp 444 . . . . . 6 ((¬ 𝑁𝑉𝐺 ∈ UMGraph ) → (𝑛𝑉 → ¬ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸))
1716ralrimiv 2948 . . . . 5 ((¬ 𝑁𝑉𝐺 ∈ UMGraph ) → ∀𝑛𝑉 ¬ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸)
18 rabeq0 3911 . . . . 5 ({𝑛𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸} = ∅ ↔ ∀𝑛𝑉 ¬ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸)
1917, 18sylibr 223 . . . 4 ((¬ 𝑁𝑉𝐺 ∈ UMGraph ) → {𝑛𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸} = ∅)
208, 19eqtr4d 2647 . . 3 ((¬ 𝑁𝑉𝐺 ∈ UMGraph ) → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑛𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸})
2120ex 449 . 2 𝑁𝑉 → (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑛𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸}))
224, 21pm2.61i 175 1 (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑛𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∉ wnel 2781  ∀wral 2896  {crab 2900  ∅c0 3874  {cpr 4127  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Vtxcvtx 25673   UMGraph cumgr 25748  Edgcedga 25792   NeighbVtx cnbgr 40550 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980  df-upgr 25749  df-umgr 25750  df-edga 25793  df-nbgr 40554 This theorem is referenced by:  nbusgr  40571
 Copyright terms: Public domain W3C validator