Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgrpredgav Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgrpredgav 25813
 Description: An edge of a multigraph always connects two vertices. Analogue of umgredgprv 25773. This theorem does not hold for arbitrary pseudographs: if either 𝑀 or 𝑁 is a proper class, then {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸 could still hold ({𝑀, 𝑁} would be either {𝑀} or {𝑁}, see prprc1 4243 or prprc2 4244, i.e. a loop), but 𝑀 ∈ 𝑉 or 𝑁 ∈ 𝑉 would not be true. (Contributed by AV, 27-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
upgredg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgredg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
umgrpredgav ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → (𝑀𝑉𝑁𝑉))

Proof of Theorem umgrpredgav
StepHypRef Expression
1 upgredg.e . . . 4 𝐸 = (Edg‘𝐺)
21eleq2i 2680 . . 3 ({𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸 ↔ {𝑀, 𝑁} ∈ (Edg‘𝐺))
3 edgumgr 25809 . . 3 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ (Edg‘𝐺)) → ({𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
42, 3sylan2b 491 . 2 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → ({𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
5 eqid 2610 . . . . 5 {𝑀, 𝑁} = {𝑀, 𝑁}
65hashprdifel 13047 . . . 4 ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑁))
7 upgredg.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
87eqcomi 2619 . . . . . . . 8 (Vtx‘𝐺) = 𝑉
98pweqi 4112 . . . . . . 7 𝒫 (Vtx‘𝐺) = 𝒫 𝑉
109eleq2i 2680 . . . . . 6 ({𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ↔ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 𝑉)
11 prelpw 4841 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁}) → ((𝑀𝑉𝑁𝑉) ↔ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 𝑉))
1211biimprd 237 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁}) → ({𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 𝑉 → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))
1310, 12syl5bi 231 . . . . 5 ((𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁}) → ({𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))
14133adant3 1074 . . . 4 ((𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑁) → ({𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))
156, 14syl 17 . . 3 ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → ({𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))
1615impcom 445 . 2 (({𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2) → (𝑀𝑉𝑁𝑉))
174, 16syl 17 1 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → (𝑀𝑉𝑁𝑉))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  𝒫 cpw 4108  {cpr 4127  ‘cfv 5804  2c2 10947  #chash 12979  Vtxcvtx 25673   UMGraph cumgr 25748  Edgcedga 25792 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980  df-umgr 25750  df-edga 25793 This theorem is referenced by:  umgrnloop2  25817  usgrpredgav  40424  umgr2edg  40436  umgrvad2edg  40440  nbumgr  40569  umgr2adedgwlklem  41151  umgr2adedgspth  41155  fusgr2wsp2nb  41498
 Copyright terms: Public domain W3C validator