Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lssatomic Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssatomic 33316
 Description: The lattice of subspaces is atomic, i.e. any nonzero element is greater than or equal to some atom. (shatomici 28601 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssatomic.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssatomic.o 0 = (0g𝑊)
lssatomic.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lssatomic.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lssatomic.u (𝜑𝑈𝑆)
lssatomic.n (𝜑𝑈 ≠ { 0 })
Assertion
Ref Expression
lssatomic (𝜑 → ∃𝑞𝐴 𝑞𝑈)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝑈,𝑞   𝑊,𝑞
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝑆(𝑞)   0 (𝑞)

Proof of Theorem lssatomic
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lssatomic.n . . 3 (𝜑𝑈 ≠ { 0 })
2 lssatomic.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑆)
3 lssatomic.o . . . . 5 0 = (0g𝑊)
4 lssatomic.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
53, 4lssne0 18772 . . . 4 (𝑈𝑆 → (𝑈 ≠ { 0 } ↔ ∃𝑥𝑈 𝑥0 ))
62, 5syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑈 ≠ { 0 } ↔ ∃𝑥𝑈 𝑥0 ))
71, 6mpbid 221 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝑈 𝑥0 )
8 lssatomic.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
983ad2ant1 1075 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑈𝑥0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
1023ad2ant1 1075 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑈𝑥0 ) → 𝑈𝑆)
11 simp2 1055 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑈𝑥0 ) → 𝑥𝑈)
12 eqid 2610 . . . . . . 7 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
1312, 4lssel 18759 . . . . . 6 ((𝑈𝑆𝑥𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
1410, 11, 13syl2anc 691 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑈𝑥0 ) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
15 simp3 1056 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑈𝑥0 ) → 𝑥0 )
16 eqid 2610 . . . . . 6 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
17 lssatomic.a . . . . . 6 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
1812, 16, 3, 17lsatlspsn2 33297 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑥0 ) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝐴)
199, 14, 15, 18syl3anc 1318 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑈𝑥0 ) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝐴)
204, 16, 9, 10, 11lspsnel5a 18817 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑈𝑥0 ) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈)
21 sseq1 3589 . . . . 5 (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (𝑞𝑈 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈))
2221rspcev 3282 . . . 4 ((((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝐴 ∧ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈) → ∃𝑞𝐴 𝑞𝑈)
2319, 20, 22syl2anc 691 . . 3 ((𝜑𝑥𝑈𝑥0 ) → ∃𝑞𝐴 𝑞𝑈)
2423rexlimdv3a 3015 . 2 (𝜑 → (∃𝑥𝑈 𝑥0 → ∃𝑞𝐴 𝑞𝑈))
257, 24mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑞𝐴 𝑞𝑈)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540  {csn 4125  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  0gc0g 15923  LModclmod 18686  LSubSpclss 18753  LSpanclspn 18792  LSAtomsclsa 33279 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-lsatoms 33281 This theorem is referenced by:  lsatcvatlem  33354  dochexmidlem5  35771
 Copyright terms: Public domain W3C validator