Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsmsatcv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmsatcv 33315
 Description: Subspace sum has the covering property (using spans of singletons to represent atoms). Similar to Exercise 5 of [Kalmbach] p. 153. (spansncvi 27895 analog.) Explicit atom version of lsmcv 18962. (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmsatcv.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsmsatcv.p = (LSSum‘𝑊)
lsmsatcv.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsmsatcv.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lsmsatcv.t (𝜑𝑇𝑆)
lsmsatcv.u (𝜑𝑈𝑆)
lsmsatcv.x (𝜑𝑄𝐴)
Assertion
Ref Expression
lsmsatcv ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 𝑄)) → 𝑈 = (𝑇 𝑄))

Proof of Theorem lsmsatcv
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsmsatcv.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2 lsmsatcv.x . . . 4 (𝜑𝑄𝐴)
3 eqid 2610 . . . . 5 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4 eqid 2610 . . . . 5 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
5 lsmsatcv.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
63, 4, 5islsati 33299 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑄𝐴) → ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑊)𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
71, 2, 6syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑊)𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
8 lsmsatcv.s . . . . . . . 8 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
9 lsmsatcv.p . . . . . . . 8 = (LSSum‘𝑊)
101adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LVec)
11 lsmsatcv.t . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇𝑆)
1211adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑇𝑆)
13 lsmsatcv.u . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈𝑆)
1413adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑈𝑆)
15 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑊))
163, 8, 4, 9, 10, 12, 14, 15lsmcv 18962 . . . . . . 7 (((𝜑𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))) → 𝑈 = (𝑇 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
17163expib 1260 . . . . . 6 ((𝜑𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))) → 𝑈 = (𝑇 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
18173adant3 1074 . . . . 5 ((𝜑𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → ((𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))) → 𝑈 = (𝑇 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
19 oveq2 6557 . . . . . . . . 9 (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇 𝑄) = (𝑇 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
2019sseq2d 3596 . . . . . . . 8 (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑈 ⊆ (𝑇 𝑄) ↔ 𝑈 ⊆ (𝑇 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
2120anbi2d 736 . . . . . . 7 (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → ((𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 𝑄)) ↔ (𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))))
2219eqeq2d 2620 . . . . . . 7 (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑈 = (𝑇 𝑄) ↔ 𝑈 = (𝑇 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
2321, 22imbi12d 333 . . . . . 6 (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (((𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 𝑄)) → 𝑈 = (𝑇 𝑄)) ↔ ((𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))) → 𝑈 = (𝑇 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))))
24233ad2ant3 1077 . . . . 5 ((𝜑𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (((𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 𝑄)) → 𝑈 = (𝑇 𝑄)) ↔ ((𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))) → 𝑈 = (𝑇 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))))
2518, 24mpbird 246 . . . 4 ((𝜑𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → ((𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 𝑄)) → 𝑈 = (𝑇 𝑄)))
2625rexlimdv3a 3015 . . 3 (𝜑 → (∃𝑣 ∈ (Base‘𝑊)𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → ((𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 𝑄)) → 𝑈 = (𝑇 𝑄))))
277, 26mpd 15 . 2 (𝜑 → ((𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 𝑄)) → 𝑈 = (𝑇 𝑄)))
28273impib 1254 1 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 𝑄)) → 𝑈 = (𝑇 𝑄))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540   ⊊ wpss 3541  {csn 4125  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  LSSumclsm 17872  LSubSpclss 18753  LSpanclspn 18792  LVecclvec 18923  LSAtomsclsa 33279 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-lsm 17874  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-drng 18572  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-lvec 18924  df-lsatoms 33281 This theorem is referenced by:  dochsat  35690
 Copyright terms: Public domain W3C validator