Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatlspsn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatlspsn2 33297
Description: The span of a nonzero singleton is an atom. TODO: make this obsolete and use lsatlspsn 33298 instead? (Contributed by NM, 9-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatset.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsatset.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsatset.z 0 = (0g𝑊)
lsatset.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lsatlspsn2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lsatlspsn2
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpc 1053 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → (𝑋𝑉𝑋0 ))
2 eldifsn 4260 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋𝑉𝑋0 ))
31, 2sylibr 223 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
4 eqid 2610 . . 3 (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑋})
5 sneq 4135 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑋 → {𝑣} = {𝑋})
65fveq2d 6107 . . . . 5 (𝑣 = 𝑋 → (𝑁‘{𝑣}) = (𝑁‘{𝑋}))
76eqeq2d 2620 . . . 4 (𝑣 = 𝑋 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑣}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑋})))
87rspcev 3282 . . 3 ((𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑋})) → ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑣}))
93, 4, 8sylancl 693 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑣}))
10 lsatset.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
11 lsatset.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
12 lsatset.z . . . 4 0 = (0g𝑊)
13 lsatset.a . . . 4 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
1410, 11, 12, 13islsat 33296 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → ((𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑣})))
15143ad2ant1 1075 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → ((𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑣})))
169, 15mpbird 246 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wrex 2897  cdif 3537  {csn 4125  cfv 5804  Basecbs 15695  0gc0g 15923  LModclmod 18686  LSpanclspn 18792  LSAtomsclsa 33279
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-lsatoms 33281
This theorem is referenced by:  lsatel  33310  lsmsat  33313  lssatomic  33316  lssats  33317  dihlsprn  35638  dihatlat  35641  dihatexv  35645  dochsatshpb  35759
  Copyright terms: Public domain W3C validator