Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lssatomic Structured version   Unicode version

Theorem lssatomic 34879
 Description: The lattice of subspaces is atomic, i.e. any nonzero element is greater than or equal to some atom. (shatomici 27404 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssatomic.s
lssatomic.o
lssatomic.a LSAtoms
lssatomic.w
lssatomic.u
lssatomic.n
Assertion
Ref Expression
lssatomic
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem lssatomic
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lssatomic.n . . 3
2 lssatomic.u . . . 4
3 lssatomic.o . . . . 5
4 lssatomic.s . . . . 5
53, 4lssne0 17724 . . . 4
62, 5syl 16 . . 3
71, 6mpbid 210 . 2
8 lssatomic.w . . . . . 6
983ad2ant1 1017 . . . . 5
1023ad2ant1 1017 . . . . . 6
11 simp2 997 . . . . . 6
12 eqid 2457 . . . . . . 7
1312, 4lssel 17711 . . . . . 6
1410, 11, 13syl2anc 661 . . . . 5
15 simp3 998 . . . . 5
16 eqid 2457 . . . . . 6
17 lssatomic.a . . . . . 6 LSAtoms
1812, 16, 3, 17lsatlspsn2 34860 . . . . 5
199, 14, 15, 18syl3anc 1228 . . . 4
204, 16, 9, 10, 11lspsnel5a 17769 . . . 4
21 sseq1 3520 . . . . 5
2221rspcev 3210 . . . 4
2319, 20, 22syl2anc 661 . . 3
2423rexlimdv3a 2951 . 2
257, 24mpd 15 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   w3a 973   wceq 1395   wcel 1819   wne 2652  wrex 2808   wss 3471  csn 4032  cfv 5594  cbs 14644  c0g 14857  clmod 17639  clss 17705  clspn 17744  LSAtomsclsa 34842 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-0g 14859  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-grp 16184  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-lsp 17745  df-lsatoms 34844 This theorem is referenced by:  lsatcvatlem  34917  dochexmidlem5  37334
 Copyright terms: Public domain W3C validator