Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvneg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodvneg1 18729
 Description: Minus 1 times a vector is the negative of the vector. Equation 2 of [Kreyszig] p. 51. (Contributed by NM, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvneg1.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvneg1.n 𝑁 = (invg𝑊)
lmodvneg1.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvneg1.s · = ( ·𝑠𝑊)
lmodvneg1.u 1 = (1r𝐹)
lmodvneg1.m 𝑀 = (invg𝐹)
Assertion
Ref Expression
lmodvneg1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((𝑀1 ) · 𝑋) = (𝑁𝑋))

Proof of Theorem lmodvneg1
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
2 lmodvneg1.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
32lmodfgrp 18695 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
43adantr 480 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝐹 ∈ Grp)
5 eqid 2610 . . . . . . 7 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
6 lmodvneg1.u . . . . . . 7 1 = (1r𝐹)
72, 5, 6lmod1cl 18713 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → 1 ∈ (Base‘𝐹))
87adantr 480 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 1 ∈ (Base‘𝐹))
9 lmodvneg1.m . . . . . 6 𝑀 = (invg𝐹)
105, 9grpinvcl 17290 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Grp ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) → (𝑀1 ) ∈ (Base‘𝐹))
114, 8, 10syl2anc 691 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑀1 ) ∈ (Base‘𝐹))
12 simpr 476 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋𝑉)
13 lmodvneg1.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
14 lmodvneg1.s . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
1513, 2, 14, 5lmodvscl 18703 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑀1 ) ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑋𝑉) → ((𝑀1 ) · 𝑋) ∈ 𝑉)
161, 11, 12, 15syl3anc 1318 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((𝑀1 ) · 𝑋) ∈ 𝑉)
17 eqid 2610 . . . 4 (+g𝑊) = (+g𝑊)
18 eqid 2610 . . . 4 (0g𝑊) = (0g𝑊)
1913, 17, 18lmod0vrid 18717 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑀1 ) · 𝑋) ∈ 𝑉) → (((𝑀1 ) · 𝑋)(+g𝑊)(0g𝑊)) = ((𝑀1 ) · 𝑋))
2016, 19syldan 486 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (((𝑀1 ) · 𝑋)(+g𝑊)(0g𝑊)) = ((𝑀1 ) · 𝑋))
21 lmodvneg1.n . . . . . 6 𝑁 = (invg𝑊)
2213, 21lmodvnegcl 18727 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁𝑋) ∈ 𝑉)
2313, 17lmodass 18701 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((𝑀1 ) · 𝑋) ∈ 𝑉𝑋𝑉 ∧ (𝑁𝑋) ∈ 𝑉)) → ((((𝑀1 ) · 𝑋)(+g𝑊)𝑋)(+g𝑊)(𝑁𝑋)) = (((𝑀1 ) · 𝑋)(+g𝑊)(𝑋(+g𝑊)(𝑁𝑋))))
241, 16, 12, 22, 23syl13anc 1320 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((((𝑀1 ) · 𝑋)(+g𝑊)𝑋)(+g𝑊)(𝑁𝑋)) = (((𝑀1 ) · 𝑋)(+g𝑊)(𝑋(+g𝑊)(𝑁𝑋))))
2513, 2, 14, 6lmodvs1 18714 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
2625oveq2d 6565 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (((𝑀1 ) · 𝑋)(+g𝑊)( 1 · 𝑋)) = (((𝑀1 ) · 𝑋)(+g𝑊)𝑋))
27 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (+g𝐹) = (+g𝐹)
28 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (0g𝐹) = (0g𝐹)
295, 27, 28, 9grplinv 17291 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Grp ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝑀1 )(+g𝐹) 1 ) = (0g𝐹))
304, 8, 29syl2anc 691 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((𝑀1 )(+g𝐹) 1 ) = (0g𝐹))
3130oveq1d 6564 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (((𝑀1 )(+g𝐹) 1 ) · 𝑋) = ((0g𝐹) · 𝑋))
3213, 17, 2, 14, 5, 27lmodvsdir 18710 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑀1 ) ∈ (Base‘𝐹) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑋𝑉)) → (((𝑀1 )(+g𝐹) 1 ) · 𝑋) = (((𝑀1 ) · 𝑋)(+g𝑊)( 1 · 𝑋)))
331, 11, 8, 12, 32syl13anc 1320 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (((𝑀1 )(+g𝐹) 1 ) · 𝑋) = (((𝑀1 ) · 𝑋)(+g𝑊)( 1 · 𝑋)))
3413, 2, 14, 28, 18lmod0vs 18719 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((0g𝐹) · 𝑋) = (0g𝑊))
3531, 33, 343eqtr3d 2652 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (((𝑀1 ) · 𝑋)(+g𝑊)( 1 · 𝑋)) = (0g𝑊))
3626, 35eqtr3d 2646 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (((𝑀1 ) · 𝑋)(+g𝑊)𝑋) = (0g𝑊))
3736oveq1d 6564 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((((𝑀1 ) · 𝑋)(+g𝑊)𝑋)(+g𝑊)(𝑁𝑋)) = ((0g𝑊)(+g𝑊)(𝑁𝑋)))
3824, 37eqtr3d 2646 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (((𝑀1 ) · 𝑋)(+g𝑊)(𝑋(+g𝑊)(𝑁𝑋))) = ((0g𝑊)(+g𝑊)(𝑁𝑋)))
3913, 17, 18, 21lmodvnegid 18728 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑋(+g𝑊)(𝑁𝑋)) = (0g𝑊))
4039oveq2d 6565 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (((𝑀1 ) · 𝑋)(+g𝑊)(𝑋(+g𝑊)(𝑁𝑋))) = (((𝑀1 ) · 𝑋)(+g𝑊)(0g𝑊)))
4113, 17, 18lmod0vlid 18716 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁𝑋) ∈ 𝑉) → ((0g𝑊)(+g𝑊)(𝑁𝑋)) = (𝑁𝑋))
4222, 41syldan 486 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((0g𝑊)(+g𝑊)(𝑁𝑋)) = (𝑁𝑋))
4338, 40, 423eqtr3d 2652 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (((𝑀1 ) · 𝑋)(+g𝑊)(0g𝑊)) = (𝑁𝑋))
4420, 43eqtr3d 2646 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((𝑀1 ) · 𝑋) = (𝑁𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  0gc0g 15923  Grpcgrp 17245  invgcminusg 17246  1rcur 18324  LModclmod 18686 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-lmod 18688 This theorem is referenced by:  lmodvsneg  18730  lmodvsubval2  18741  lssvnegcl  18777  lspsnneg  18827  lmodvsinv  18857  lspsolvlem  18963  tlmtgp  21809  clmvneg1  22707  deg1invg  23670
 Copyright terms: Public domain W3C validator