Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iundisj2f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iundisj2f 28785
 Description: A disjoint union is disjoint. Cf. iundisj2 23124. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
iundisjf.1 𝑘𝐴
iundisjf.2 𝑛𝐵
iundisjf.3 (𝑛 = 𝑘𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
iundisj2f Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)
Distinct variable group:   𝑘,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘,𝑛)   𝐵(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem iundisj2f
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tru 1479 . . . 4
2 eqeq12 2623 . . . . . 6 ((𝑎 = 𝑥𝑏 = 𝑦) → (𝑎 = 𝑏𝑥 = 𝑦))
3 csbeq1 3502 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑥𝑎 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = 𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
4 csbeq1 3502 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑦𝑏 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
53, 4ineqan12d 3778 . . . . . . 7 ((𝑎 = 𝑥𝑏 = 𝑦) → (𝑎 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑏 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)))
65eqeq1d 2612 . . . . . 6 ((𝑎 = 𝑥𝑏 = 𝑦) → ((𝑎 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑏 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅ ↔ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
72, 6orbi12d 742 . . . . 5 ((𝑎 = 𝑥𝑏 = 𝑦) → ((𝑎 = 𝑏 ∨ (𝑎 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑏 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅) ↔ (𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅)))
8 eqeq12 2623 . . . . . . 7 ((𝑎 = 𝑦𝑏 = 𝑥) → (𝑎 = 𝑏𝑦 = 𝑥))
9 equcom 1932 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥𝑥 = 𝑦)
108, 9syl6bb 275 . . . . . 6 ((𝑎 = 𝑦𝑏 = 𝑥) → (𝑎 = 𝑏𝑥 = 𝑦))
11 csbeq1 3502 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑦𝑎 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
12 csbeq1 3502 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑥𝑏 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = 𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
1311, 12ineqan12d 3778 . . . . . . . 8 ((𝑎 = 𝑦𝑏 = 𝑥) → (𝑎 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑏 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = (𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)))
14 incom 3767 . . . . . . . 8 (𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
1513, 14syl6eq 2660 . . . . . . 7 ((𝑎 = 𝑦𝑏 = 𝑥) → (𝑎 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑏 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)))
1615eqeq1d 2612 . . . . . 6 ((𝑎 = 𝑦𝑏 = 𝑥) → ((𝑎 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑏 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅ ↔ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
1710, 16orbi12d 742 . . . . 5 ((𝑎 = 𝑦𝑏 = 𝑥) → ((𝑎 = 𝑏 ∨ (𝑎 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑏 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅) ↔ (𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅)))
18 nnssre 10901 . . . . . 6 ℕ ⊆ ℝ
1918a1i 11 . . . . 5 (⊤ → ℕ ⊆ ℝ)
20 biidd 251 . . . . 5 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅) ↔ (𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅)))
21 nesym 2838 . . . . . . . 8 (𝑦𝑥 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑦)
22 nnre 10904 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
23 nnre 10904 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
24 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑦𝑥𝑦)
25 leltne 10006 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥 < 𝑦𝑦𝑥))
2622, 23, 24, 25syl3an 1360 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥 < 𝑦𝑦𝑥))
27 vex 3176 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 ∈ V
28 nfcsb1v 3515 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛𝑥 / 𝑛𝐴
29 nfcv 2751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛(1..^𝑥)
30 iundisjf.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛𝐵
3129, 30nfiun 4484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛 𝑘 ∈ (1..^𝑥)𝐵
3228, 31nfdif 3693 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛(𝑥 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑥)𝐵)
33 csbeq1a 3508 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑥𝐴 = 𝑥 / 𝑛𝐴)
34 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑥 → (1..^𝑛) = (1..^𝑥))
3534iuneq1d 4481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑥 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵 = 𝑘 ∈ (1..^𝑥)𝐵)
3633, 35difeq12d 3691 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑥 → (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = (𝑥 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑥)𝐵))
3727, 32, 36csbief 3524 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = (𝑥 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑥)𝐵)
38 vex 3176 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 ∈ V
39 nfcsb1v 3515 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛𝑦 / 𝑛𝐴
40 nfcv 2751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛(1..^𝑦)
4140, 30nfiun 4484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵
4239, 41nfdif 3693 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛(𝑦 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)
43 csbeq1a 3508 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑦𝐴 = 𝑦 / 𝑛𝐴)
44 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑦 → (1..^𝑛) = (1..^𝑦))
4544iuneq1d 4481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑦 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵 = 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)
4643, 45difeq12d 3691 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑦 → (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = (𝑦 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵))
4738, 42, 46csbief 3524 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = (𝑦 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)
4837, 47ineq12i 3774 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ((𝑥 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑥)𝐵) ∩ (𝑦 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵))
49 simp1 1054 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℕ)
50 nnuz 11599 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ℕ = (ℤ‘1)
5149, 50syl6eleq 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ (ℤ‘1))
52 simp2 1055 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℕ)
5352nnzd 11357 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℤ)
54 simp3 1056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 < 𝑦)
55 elfzo2 12342 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (1..^𝑦) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑦))
5651, 53, 54, 55syl3anbrc 1239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ (1..^𝑦))
57 nfcv 2751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘(1..^𝑦)
58 nfcv 2751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘𝑥
59 iundisjf.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘𝐴
6058, 59nfcsb 3517 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘𝑥 / 𝑛𝐴
61 nfcv 2751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑛𝑘
62 iundisjf.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 𝑘𝐴 = 𝐵)
6361, 30, 62csbhypf 3518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑘𝑥 / 𝑛𝐴 = 𝐵)
6463equcoms 1934 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑥𝑥 / 𝑛𝐴 = 𝐵)
6564eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑥𝐵 = 𝑥 / 𝑛𝐴)
6657, 58, 60, 65ssiun2sf 28760 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (1..^𝑦) → 𝑥 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)
6756, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)
6867ssdifssd 3710 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑥 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑥)𝐵) ⊆ 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)
69 ssrin 3800 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑥)𝐵) ⊆ 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵 → ((𝑥 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑥)𝐵) ∩ (𝑦 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)) ⊆ ( 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵 ∩ (𝑦 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)))
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝑥 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑥)𝐵) ∩ (𝑦 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)) ⊆ ( 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵 ∩ (𝑦 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)))
7148, 70syl5eqss 3612 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) ⊆ ( 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵 ∩ (𝑦 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)))
72 disjdif 3992 . . . . . . . . . . . 12 ( 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵 ∩ (𝑦 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)) = ∅
73 sseq0 3927 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) ⊆ ( 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵 ∩ (𝑦 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)) ∧ ( 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵 ∩ (𝑦 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)) = ∅) → (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅)
7471, 72, 73sylancl 693 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅)
75743expia 1259 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 < 𝑦 → (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
76753adant3 1074 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥 < 𝑦 → (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
7726, 76sylbird 249 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑦) → (𝑦𝑥 → (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
7821, 77syl5bir 232 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑦) → (¬ 𝑥 = 𝑦 → (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
7978orrd 392 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
8079adantl 481 . . . . 5 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑦)) → (𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
817, 17, 19, 20, 80wlogle 10440 . . . 4 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
821, 81mpan 702 . . 3 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
8382rgen2a 2960 . 2 𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅)
84 disjors 4568 . 2 (Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
8583, 84mpbir 220 1 Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ⊤wtru 1476   ∈ wcel 1977  Ⅎwnfc 2738   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ⦋csb 3499   ∖ cdif 3537   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ∪ ciun 4455  Disj wdisj 4553   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  1c1 9816   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℕcn 10897  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ..^cfzo 12334 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335 This theorem is referenced by:  iundisj2cnt  28945
 Copyright terms: Public domain W3C validator