Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubgrpd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issubgrpd2 17433
 Description: Prove a subgroup by closure (definition version). (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
issubgrpd.s (𝜑𝑆 = (𝐼s 𝐷))
issubgrpd.z (𝜑0 = (0g𝐼))
issubgrpd.p (𝜑+ = (+g𝐼))
issubgrpd.ss (𝜑𝐷 ⊆ (Base‘𝐼))
issubgrpd.zcl (𝜑0𝐷)
issubgrpd.acl ((𝜑𝑥𝐷𝑦𝐷) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐷)
issubgrpd.ncl ((𝜑𝑥𝐷) → ((invg𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐷)
issubgrpd.g (𝜑𝐼 ∈ Grp)
Assertion
Ref Expression
issubgrpd2 (𝜑𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐼))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, 0   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem issubgrpd2
StepHypRef Expression
1 issubgrpd.ss . 2 (𝜑𝐷 ⊆ (Base‘𝐼))
2 issubgrpd.zcl . . 3 (𝜑0𝐷)
3 ne0i 3880 . . 3 ( 0𝐷𝐷 ≠ ∅)
42, 3syl 17 . 2 (𝜑𝐷 ≠ ∅)
5 issubgrpd.p . . . . . . . 8 (𝜑+ = (+g𝐼))
65oveqd 6566 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g𝐼)𝑦))
76ad2antrr 758 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑦𝐷) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g𝐼)𝑦))
8 issubgrpd.acl . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷𝑦𝐷) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐷)
983expa 1257 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑦𝐷) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐷)
107, 9eqeltrrd 2689 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑦𝐷) → (𝑥(+g𝐼)𝑦) ∈ 𝐷)
1110ralrimiva 2949 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → ∀𝑦𝐷 (𝑥(+g𝐼)𝑦) ∈ 𝐷)
12 issubgrpd.ncl . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → ((invg𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐷)
1311, 12jca 553 . . 3 ((𝜑𝑥𝐷) → (∀𝑦𝐷 (𝑥(+g𝐼)𝑦) ∈ 𝐷 ∧ ((invg𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐷))
1413ralrimiva 2949 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐷 (∀𝑦𝐷 (𝑥(+g𝐼)𝑦) ∈ 𝐷 ∧ ((invg𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐷))
15 issubgrpd.g . . 3 (𝜑𝐼 ∈ Grp)
16 eqid 2610 . . . 4 (Base‘𝐼) = (Base‘𝐼)
17 eqid 2610 . . . 4 (+g𝐼) = (+g𝐼)
18 eqid 2610 . . . 4 (invg𝐼) = (invg𝐼)
1916, 17, 18issubg2 17432 . . 3 (𝐼 ∈ Grp → (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐼) ↔ (𝐷 ⊆ (Base‘𝐼) ∧ 𝐷 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐷 (∀𝑦𝐷 (𝑥(+g𝐼)𝑦) ∈ 𝐷 ∧ ((invg𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐷))))
2015, 19syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐼) ↔ (𝐷 ⊆ (Base‘𝐼) ∧ 𝐷 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐷 (∀𝑦𝐷 (𝑥(+g𝐼)𝑦) ∈ 𝐷 ∧ ((invg𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐷))))
211, 4, 14, 20mpbir3and 1238 1 (𝜑𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐼))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695   ↾s cress 15696  +gcplusg 15768  0gc0g 15923  Grpcgrp 17245  invgcminusg 17246  SubGrpcsubg 17411 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-subg 17414 This theorem is referenced by:  issubgrpd  17434  symgsssg  17710  symgfisg  17711  issubrngd2  19010  dsmmsubg  19906
 Copyright terms: Public domain W3C validator