Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscfil2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscfil2 22872
 Description: The property of being a Cauchy filter. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
iscfil2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐹𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐹   𝑤,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem iscfil2
StepHypRef Expression
1 iscfil 22871 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐹 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))))
2 xmetf 21944 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
32ad3antrrr 762 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
4 ffun 5961 . . . . . . . 8 (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* → Fun 𝐷)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) → Fun 𝐷)
6 simplr 788 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
7 filelss 21466 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦𝐹) → 𝑦𝑋)
86, 7sylan 487 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) → 𝑦𝑋)
9 xpss12 5148 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝑋𝑦𝑋) → (𝑦 × 𝑦) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
108, 8, 9syl2anc 691 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) → (𝑦 × 𝑦) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
11 fdm 5964 . . . . . . . . 9 (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋))
123, 11syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋))
1310, 12sseqtr4d 3605 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) → (𝑦 × 𝑦) ⊆ dom 𝐷)
14 funimassov 6709 . . . . . . 7 ((Fun 𝐷 ∧ (𝑦 × 𝑦) ⊆ dom 𝐷) → ((𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥) ↔ ∀𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) ∈ (0[,)𝑥)))
155, 13, 14syl2anc 691 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) → ((𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥) ↔ ∀𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) ∈ (0[,)𝑥)))
16 0xr 9965 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
1716a1i 11 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) ∧ (𝑧𝑦𝑤𝑦)) → 0 ∈ ℝ*)
18 simpllr 795 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) ∧ (𝑧𝑦𝑤𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
1918rpxrd 11749 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) ∧ (𝑧𝑦𝑤𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
20 simp-4l 802 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) ∧ (𝑧𝑦𝑤𝑦)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
218sselda 3568 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑧𝑋)
2221adantrr 749 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) ∧ (𝑧𝑦𝑤𝑦)) → 𝑧𝑋)
238sselda 3568 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) ∧ 𝑤𝑦) → 𝑤𝑋)
2423adantrl 748 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) ∧ (𝑧𝑦𝑤𝑦)) → 𝑤𝑋)
25 xmetcl 21946 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧𝑋𝑤𝑋) → (𝑧𝐷𝑤) ∈ ℝ*)
2620, 22, 24, 25syl3anc 1318 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) ∧ (𝑧𝑦𝑤𝑦)) → (𝑧𝐷𝑤) ∈ ℝ*)
27 xmetge0 21959 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧𝑋𝑤𝑋) → 0 ≤ (𝑧𝐷𝑤))
2820, 22, 24, 27syl3anc 1318 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) ∧ (𝑧𝑦𝑤𝑦)) → 0 ≤ (𝑧𝐷𝑤))
29 elico1 12089 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝑧𝐷𝑤) ∈ (0[,)𝑥) ↔ ((𝑧𝐷𝑤) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑧𝐷𝑤) ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)))
30 df-3an 1033 . . . . . . . . . 10 (((𝑧𝐷𝑤) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑧𝐷𝑤) ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥) ↔ (((𝑧𝐷𝑤) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑧𝐷𝑤)) ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
3129, 30syl6bb 275 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝑧𝐷𝑤) ∈ (0[,)𝑥) ↔ (((𝑧𝐷𝑤) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑧𝐷𝑤)) ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)))
3231baibd 946 . . . . . . . 8 (((0 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑤) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑧𝐷𝑤))) → ((𝑧𝐷𝑤) ∈ (0[,)𝑥) ↔ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
3317, 19, 26, 28, 32syl22anc 1319 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) ∧ (𝑧𝑦𝑤𝑦)) → ((𝑧𝐷𝑤) ∈ (0[,)𝑥) ↔ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
34332ralbidva 2971 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) → (∀𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) ∈ (0[,)𝑥) ↔ ∀𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
3515, 34bitrd 267 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) → ((𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥) ↔ ∀𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
3635rexbidva 3031 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑦𝐹 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥) ↔ ∃𝑦𝐹𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
3736ralbidva 2968 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐹 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐹𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
3837pm5.32da 671 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐹 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥)) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐹𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)))
391, 38bitrd 267 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐹𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583   × cxp 5036  dom cdm 5038   “ cima 5041  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℝ+crp 11708  [,)cico 12048  ∞Metcxmt 19552  Filcfil 21459  CauFilccfil 22858 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-2 10956  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ico 12052  df-xmet 19560  df-fbas 19564  df-fil 21460  df-cfil 22861 This theorem is referenced by:  cfili  22874  fgcfil  22877  iscfil3  22879  cfilresi  22901  cfilres  22902
 Copyright terms: Public domain W3C validator