MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  filelss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem filelss 21466
Description: An element of a filter is a subset of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
filelss ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) → 𝐴𝑋)

Proof of Theorem filelss
StepHypRef Expression
1 filfbas 21462 . 2 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
2 fbelss 21447 . 2 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) → 𝐴𝑋)
31, 2sylan 487 1 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) → 𝐴𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 1977  wss 3540  cfv 5804  fBascfbas 19555  Filcfil 21459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-fbas 19564  df-fil 21460
This theorem is referenced by:  filin  21468  filtop  21469  filuni  21499  trfil2  21501  trfil3  21502  fgtr  21504  trfg  21505  ufilmax  21521  isufil2  21522  ufileu  21533  filufint  21534  cfinufil  21542  ufilen  21544  rnelfm  21567  fmfnfmlem4  21571  fmid  21574  flimclsi  21592  flimrest  21597  txflf  21620  fclsopn  21628  fclsrest  21638  flimfnfcls  21642  fclscmpi  21643  iscfil2  22872  cfil3i  22875  iscmet3lem2  22898  iscmet3  22899  cfilresi  22901  cfilres  22902  filnetlem3  31545
  Copyright terms: Public domain W3C validator