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Theorem iscfil2 21683
Description: The property of being a Cauchy filter. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
iscfil2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( F  e.  (CauFil `  D
)  <->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  A. z  e.  y  A. w  e.  y  ( z D w )  <  x
) ) )
Distinct variable groups:    x, w, y, z, F    w, X, x, y, z    w, D, x, y, z

Proof of Theorem iscfil2
StepHypRef Expression
1 iscfil 21682 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( F  e.  (CauFil `  D
)  <->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) ) )
2 xmetf 20810 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
32ad3antrrr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  F )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
4 ffun 5723 . . . . . . . 8  |-  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  ->  Fun 
D )
53, 4syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  F )  ->  Fun  D )
6 simplr 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
7 filelss 20331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  y  e.  F )  ->  y  C_  X )
86, 7sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  F )  ->  y  C_  X )
9 xpss12 5098 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  C_  X  /\  y  C_  X )  -> 
( y  X.  y
)  C_  ( X  X.  X ) )
108, 8, 9syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  F )  ->  (
y  X.  y ) 
C_  ( X  X.  X ) )
11 fdm 5725 . . . . . . . . 9  |-  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  ->  dom 
D  =  ( X  X.  X ) )
123, 11syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  F )  ->  dom  D  =  ( X  X.  X ) )
1310, 12sseqtr4d 3526 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  F )  ->  (
y  X.  y ) 
C_  dom  D )
14 funimassov 6437 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  D  /\  (
y  X.  y ) 
C_  dom  D )  ->  ( ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x )  <->  A. z  e.  y  A. w  e.  y 
( z D w )  e.  ( 0 [,) x ) ) )
155, 13, 14syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  F )  ->  (
( D " (
y  X.  y ) )  C_  ( 0 [,) x )  <->  A. z  e.  y  A. w  e.  y  ( z D w )  e.  ( 0 [,) x
) ) )
16 0xr 9643 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR*
1716a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  F )  /\  (
z  e.  y  /\  w  e.  y )
)  ->  0  e.  RR* )
18 simpllr 760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  F )  /\  (
z  e.  y  /\  w  e.  y )
)  ->  x  e.  RR+ )
1918rpxrd 11268 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  F )  /\  (
z  e.  y  /\  w  e.  y )
)  ->  x  e.  RR* )
20 simp-4l 767 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  F )  /\  (
z  e.  y  /\  w  e.  y )
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
218sselda 3489 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  F )  /\  z  e.  y )  ->  z  e.  X )
2221adantrr 716 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  F )  /\  (
z  e.  y  /\  w  e.  y )
)  ->  z  e.  X )
238sselda 3489 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  F )  /\  w  e.  y )  ->  w  e.  X )
2423adantrl 715 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  F )  /\  (
z  e.  y  /\  w  e.  y )
)  ->  w  e.  X )
25 xmetcl 20812 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  z  e.  X  /\  w  e.  X
)  ->  ( z D w )  e. 
RR* )
2620, 22, 24, 25syl3anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  F )  /\  (
z  e.  y  /\  w  e.  y )
)  ->  ( z D w )  e. 
RR* )
27 xmetge0 20825 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  z  e.  X  /\  w  e.  X
)  ->  0  <_  ( z D w ) )
2820, 22, 24, 27syl3anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  F )  /\  (
z  e.  y  /\  w  e.  y )
)  ->  0  <_  ( z D w ) )
29 elico1 11583 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
( z D w )  e.  ( 0 [,) x )  <->  ( (
z D w )  e.  RR*  /\  0  <_  ( z D w )  /\  ( z D w )  < 
x ) ) )
30 df-3an 976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z D w )  e.  RR*  /\  0  <_  ( z D w )  /\  ( z D w )  < 
x )  <->  ( (
( z D w )  e.  RR*  /\  0  <_  ( z D w ) )  /\  (
z D w )  <  x ) )
3129, 30syl6bb 261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
( z D w )  e.  ( 0 [,) x )  <->  ( (
( z D w )  e.  RR*  /\  0  <_  ( z D w ) )  /\  (
z D w )  <  x ) ) )
3231baibd 909 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  /\  ( ( z D w )  e.  RR*  /\  0  <_  ( z D w ) ) )  ->  ( (
z D w )  e.  ( 0 [,) x )  <->  ( z D w )  < 
x ) )
3317, 19, 26, 28, 32syl22anc 1230 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  F )  /\  (
z  e.  y  /\  w  e.  y )
)  ->  ( (
z D w )  e.  ( 0 [,) x )  <->  ( z D w )  < 
x ) )
34332ralbidva 2885 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  F )  ->  ( A. z  e.  y  A. w  e.  y 
( z D w )  e.  ( 0 [,) x )  <->  A. z  e.  y  A. w  e.  y  ( z D w )  < 
x ) )
3515, 34bitrd 253 . . . . 5  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  F )  ->  (
( D " (
y  X.  y ) )  C_  ( 0 [,) x )  <->  A. z  e.  y  A. w  e.  y  ( z D w )  < 
x ) )
3635rexbidva 2951 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  F  ( D " ( y  X.  y ) ) 
C_  ( 0 [,) x )  <->  E. y  e.  F  A. z  e.  y  A. w  e.  y  ( z D w )  < 
x ) )
3736ralbidva 2879 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x )  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  A. z  e.  y  A. w  e.  y  ( z D w )  < 
x ) )
3837pm5.32da 641 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (
( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  ( D " ( y  X.  y ) ) 
C_  ( 0 [,) x ) )  <->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  A. z  e.  y  A. w  e.  y  ( z D w )  <  x
) ) )
391, 38bitrd 253 1  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( F  e.  (CauFil `  D
)  <->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  A. z  e.  y  A. w  e.  y  ( z D w )  <  x
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   E.wrex 2794    C_ wss 3461   class class class wbr 4437    X. cxp 4987   dom cdm 4989   "cima 4992   Fun wfun 5572   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   0cc0 9495   RR*cxr 9630    < clt 9631    <_ cle 9632   RR+crp 11231   [,)cico 11542   *Metcxmt 18382   Filcfil 20324  CauFilccfil 21669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-2 10601  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-ico 11546  df-xmet 18391  df-fbas 18395  df-fil 20325  df-cfil 21672
This theorem is referenced by:  cfili  21685  fgcfil  21688  iscfil3  21690  cfilresi  21712  cfilres  21713
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