Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ioondisj2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioondisj2 38561
 Description: A condition for two open intervals not to be disjoint. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
ioondisj2 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) ≠ ∅)

Proof of Theorem ioondisj2
StepHypRef Expression
1 simpll1 1093 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 simpll2 1094 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3 simplr1 1096 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
4 simplr2 1097 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) → 𝐷 ∈ ℝ*)
5 iooin 12080 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = (if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷)))
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 1319 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = (if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷)))
7 simprr 792 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) → 𝐷𝐵)
8 xrmineq 11885 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐷𝐵) → if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷) = 𝐷)
92, 4, 7, 8syl3anc 1318 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) → if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷) = 𝐷)
109oveq2d 6565 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) → (if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷)) = (if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)𝐷))
11 simpr 476 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐴𝐶)
1211iftrued 4044 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) ∧ 𝐴𝐶) → if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴) = 𝐶)
13 simplr3 1098 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) → 𝐶 < 𝐷)
1413adantr 480 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐶 < 𝐷)
1512, 14eqbrtrd 4605 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) ∧ 𝐴𝐶) → if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴) < 𝐷)
16 simpr 476 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) ∧ ¬ 𝐴𝐶) → ¬ 𝐴𝐶)
1716iffalsed 4047 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) ∧ ¬ 𝐴𝐶) → if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴) = 𝐴)
18 simplrl 796 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) ∧ ¬ 𝐴𝐶) → 𝐴 < 𝐷)
1917, 18eqbrtrd 4605 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) ∧ ¬ 𝐴𝐶) → if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴) < 𝐷)
2015, 19pm2.61dan 828 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) → if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴) < 𝐷)
213, 1ifcld 4081 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) → if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴) ∈ ℝ*)
22 ioon0 12072 . . . . 5 ((if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴) ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) → ((if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)𝐷) ≠ ∅ ↔ if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴) < 𝐷))
2321, 4, 22syl2anc 691 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) → ((if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)𝐷) ≠ ∅ ↔ if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴) < 𝐷))
2420, 23mpbird 246 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) → (if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)𝐷) ≠ ∅)
2510, 24eqnetrd 2849 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) → (if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷)) ≠ ∅)
266, 25eqnetrd 2849 1 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) ≠ ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∩ cin 3539  ∅c0 3874  ifcif 4036   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954  (,)cioo 12046 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-ioo 12050 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator