Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ioondisj2 Structured version   Unicode version

Theorem ioondisj2 31461
Description: A condition for two open intervals not to be disjoint. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
ioondisj2  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  A  <  B
)  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR*  /\  C  <  D ) )  /\  ( A  <  D  /\  D  <_  B ) )  -> 
( ( A (,) B )  i^i  ( C (,) D ) )  =/=  (/) )

Proof of Theorem ioondisj2
StepHypRef Expression
1 simpll1 1036 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  A  <  B
)  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR*  /\  C  <  D ) )  /\  ( A  <  D  /\  D  <_  B ) )  ->  A  e.  RR* )
2 simpll2 1037 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  A  <  B
)  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR*  /\  C  <  D ) )  /\  ( A  <  D  /\  D  <_  B ) )  ->  B  e.  RR* )
3 simplr1 1039 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  A  <  B
)  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR*  /\  C  <  D ) )  /\  ( A  <  D  /\  D  <_  B ) )  ->  C  e.  RR* )
4 simplr2 1040 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  A  <  B
)  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR*  /\  C  <  D ) )  /\  ( A  <  D  /\  D  <_  B ) )  ->  D  e.  RR* )
5 iooin 11573 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )
)  ->  ( ( A (,) B )  i^i  ( C (,) D
) )  =  ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) (,) if ( B  <_  D ,  B ,  D )
) )
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 1230 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  A  <  B
)  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR*  /\  C  <  D ) )  /\  ( A  <  D  /\  D  <_  B ) )  -> 
( ( A (,) B )  i^i  ( C (,) D ) )  =  ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) (,) if ( B  <_  D ,  B ,  D ) ) )
7 simprr 757 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  A  <  B
)  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR*  /\  C  <  D ) )  /\  ( A  <  D  /\  D  <_  B ) )  ->  D  <_  B )
8 xrmineq 11391 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  D  e.  RR*  /\  D  <_  B )  ->  if ( B  <_  D ,  B ,  D )  =  D )
92, 4, 7, 8syl3anc 1229 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  A  <  B
)  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR*  /\  C  <  D ) )  /\  ( A  <  D  /\  D  <_  B ) )  ->  if ( B  <_  D ,  B ,  D )  =  D )
109oveq2d 6297 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  A  <  B
)  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR*  /\  C  <  D ) )  /\  ( A  <  D  /\  D  <_  B ) )  -> 
( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) (,) if ( B  <_  D ,  B ,  D )
)  =  ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) (,) D ) )
11 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  A  <  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR*  /\  C  <  D ) )  /\  ( A  <  D  /\  D  <_  B ) )  /\  A  <_  C )  ->  A  <_  C )
1211iftrued 3934 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  A  <  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR*  /\  C  <  D ) )  /\  ( A  <  D  /\  D  <_  B ) )  /\  A  <_  C )  ->  if ( A  <_  C ,  C ,  A )  =  C )
13 simplr3 1041 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  A  <  B
)  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR*  /\  C  <  D ) )  /\  ( A  <  D  /\  D  <_  B ) )  ->  C  <  D )
1413adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  A  <  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR*  /\  C  <  D ) )  /\  ( A  <  D  /\  D  <_  B ) )  /\  A  <_  C )  ->  C  <  D )
1512, 14eqbrtrd 4457 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  A  <  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR*  /\  C  <  D ) )  /\  ( A  <  D  /\  D  <_  B ) )  /\  A  <_  C )  ->  if ( A  <_  C ,  C ,  A )  <  D )
16 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  A  <  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR*  /\  C  <  D ) )  /\  ( A  <  D  /\  D  <_  B ) )  /\  -.  A  <_  C )  ->  -.  A  <_  C )
1716iffalsed 3937 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  A  <  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR*  /\  C  <  D ) )  /\  ( A  <  D  /\  D  <_  B ) )  /\  -.  A  <_  C )  ->  if ( A  <_  C ,  C ,  A )  =  A )
18 simplrl 761 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  A  <  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR*  /\  C  <  D ) )  /\  ( A  <  D  /\  D  <_  B ) )  /\  -.  A  <_  C )  ->  A  <  D
)
1917, 18eqbrtrd 4457 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  A  <  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR*  /\  C  <  D ) )  /\  ( A  <  D  /\  D  <_  B ) )  /\  -.  A  <_  C )  ->  if ( A  <_  C ,  C ,  A )  <  D
)
2015, 19pm2.61dan 791 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  A  <  B
)  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR*  /\  C  <  D ) )  /\  ( A  <  D  /\  D  <_  B ) )  ->  if ( A  <_  C ,  C ,  A )  <  D )
213, 1ifcld 3969 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  A  <  B
)  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR*  /\  C  <  D ) )  /\  ( A  <  D  /\  D  <_  B ) )  ->  if ( A  <_  C ,  C ,  A )  e.  RR* )
22 ioon0 11565 . . . . 5  |-  ( ( if ( A  <_  C ,  C ,  A )  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  ->  ( ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) (,) D )  =/=  (/)  <->  if ( A  <_  C ,  C ,  A )  <  D
) )
2321, 4, 22syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  A  <  B
)  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR*  /\  C  <  D ) )  /\  ( A  <  D  /\  D  <_  B ) )  -> 
( ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) (,) D )  =/=  (/)  <->  if ( A  <_  C ,  C ,  A )  <  D
) )
2420, 23mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  A  <  B
)  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR*  /\  C  <  D ) )  /\  ( A  <  D  /\  D  <_  B ) )  -> 
( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) (,) D
)  =/=  (/) )
2510, 24eqnetrd 2736 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  A  <  B
)  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR*  /\  C  <  D ) )  /\  ( A  <  D  /\  D  <_  B ) )  -> 
( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) (,) if ( B  <_  D ,  B ,  D )
)  =/=  (/) )
266, 25eqnetrd 2736 1  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  A  <  B
)  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR*  /\  C  <  D ) )  /\  ( A  <  D  /\  D  <_  B ) )  -> 
( ( A (,) B )  i^i  ( C (,) D ) )  =/=  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638    i^i cin 3460   (/)c0 3770   ifcif 3926   class class class wbr 4437  (class class class)co 6281   RR*cxr 9630    < clt 9631    <_ cle 9632   (,)cioo 11539
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11092  df-q 11193  df-ioo 11543
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator