Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fnlimfvre2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnlimfvre2 38744
 Description: The limit function of real functions, applied to elements in its domain, evaluates to Real values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fnlimfvre2.p 𝑚𝜑
fnlimfvre2.m 𝑚𝐹
fnlimfvre2.n 𝑥𝐹
fnlimfvre2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
fnlimfvre2.f ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚):dom (𝐹𝑚)⟶ℝ)
fnlimfvre2.d 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
fnlimfvre2.g 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
fnlimfvre2.x (𝜑𝑋𝐷)
Assertion
Ref Expression
fnlimfvre2 (𝜑 → (𝐺𝑋) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑚,𝑋,𝑛,𝑥   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚)   𝐷(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑚)   𝐺(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem fnlimfvre2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnlimfvre2.x . . 3 (𝜑𝑋𝐷)
2 fvex 6113 . . . 4 ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ V
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ V)
4 nfcv 2751 . . . 4 𝑧𝑋
5 nfcv 2751 . . . 4 𝑧( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)))
6 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑋 = 𝑧 → ((𝐹𝑚)‘𝑋) = ((𝐹𝑚)‘𝑧))
76mpteq2dv 4673 . . . . . 6 (𝑋 = 𝑧 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧)))
8 eqcom 2617 . . . . . . . 8 (𝑋 = 𝑧𝑧 = 𝑋)
98imbi1i 338 . . . . . . 7 ((𝑋 = 𝑧 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧))) ↔ (𝑧 = 𝑋 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧))))
10 eqcom 2617 . . . . . . . 8 ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧)) ↔ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)))
1110imbi2i 325 . . . . . . 7 ((𝑧 = 𝑋 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧))) ↔ (𝑧 = 𝑋 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
129, 11bitri 263 . . . . . 6 ((𝑋 = 𝑧 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧))) ↔ (𝑧 = 𝑋 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
137, 12mpbi 219 . . . . 5 (𝑧 = 𝑋 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)))
1413fveq2d 6107 . . . 4 (𝑧 = 𝑋 → ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧))) = ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
15 fnlimfvre2.g . . . . 5 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
16 fnlimfvre2.d . . . . . . 7 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
17 nfrab1 3099 . . . . . . 7 𝑥{𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
1816, 17nfcxfr 2749 . . . . . 6 𝑥𝐷
19 nfcv 2751 . . . . . 6 𝑧𝐷
20 nfcv 2751 . . . . . 6 𝑧( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)))
21 nfcv 2751 . . . . . . 7 𝑥
22 nfcv 2751 . . . . . . . 8 𝑥𝑍
23 fnlimfvre2.n . . . . . . . . . 10 𝑥𝐹
24 nfcv 2751 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑚
2523, 24nffv 6110 . . . . . . . . 9 𝑥(𝐹𝑚)
26 nfcv 2751 . . . . . . . . 9 𝑥𝑧
2725, 26nffv 6110 . . . . . . . 8 𝑥((𝐹𝑚)‘𝑧)
2822, 27nfmpt 4674 . . . . . . 7 𝑥(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧))
2921, 28nffv 6110 . . . . . 6 𝑥( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧)))
30 fveq2 6103 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑚)‘𝑥) = ((𝐹𝑚)‘𝑧))
3130mpteq2dv 4673 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧)))
3231fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧))))
3318, 19, 20, 29, 32cbvmptf 4676 . . . . 5 (𝑥𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)))) = (𝑧𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧))))
3415, 33eqtri 2632 . . . 4 𝐺 = (𝑧𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧))))
354, 5, 14, 34fvmptf 6209 . . 3 ((𝑋𝐷 ∧ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ V) → (𝐺𝑋) = ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
361, 3, 35syl2anc 691 . 2 (𝜑 → (𝐺𝑋) = ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
37 fnlimfvre2.p . . 3 𝑚𝜑
38 fnlimfvre2.m . . 3 𝑚𝐹
39 fnlimfvre2.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
40 fnlimfvre2.f . . 3 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚):dom (𝐹𝑚)⟶ℝ)
4137, 38, 23, 39, 40, 16, 1fnlimfvre 38741 . 2 (𝜑 → ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ)
4236, 41eqeltrd 2688 1 (𝜑 → (𝐺𝑋) ∈ ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475  Ⅎwnf 1699   ∈ wcel 1977  Ⅎwnfc 2738  {crab 2900  Vcvv 3173  ∪ ciun 4455  ∩ ciin 4456   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  ℝcr 9814  ℤ≥cuz 11563   ⇝ cli 14063 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator