MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin41 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin41 9149
Description: Under countable choice, the IV-finite sets (Dedekind-finite) coincide with I-finite (finite in the usual sense) sets. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin41 FinIV = Fin

Proof of Theorem fin41
StepHypRef Expression
1 vex 3176 . . . . 5 𝑥 ∈ V
21domtriom 9148 . . . 4 (ω ≼ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≺ ω)
32con2bii 346 . . 3 (𝑥 ≺ ω ↔ ¬ ω ≼ 𝑥)
4 isfinite 8432 . . 3 (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝑥 ≺ ω)
5 isfin4-2 9019 . . . 4 (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∈ FinIV ↔ ¬ ω ≼ 𝑥))
61, 5ax-mp 5 . . 3 (𝑥 ∈ FinIV ↔ ¬ ω ≼ 𝑥)
73, 4, 63bitr4ri 292 . 2 (𝑥 ∈ FinIV𝑥 ∈ Fin)
87eqriv 2607 1 FinIV = Fin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 195   = wceq 1475  wcel 1977  Vcvv 3173   class class class wbr 4583  ωcom 6957  cdom 7839  csdm 7840  Fincfn 7841  FinIVcfin4 8985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-fin4 8992
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator