MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin41 Structured version   Unicode version

Theorem fin41 8725
Description: Under countable choice, the IV-finite sets (Dedekind-finite) coincide with I-finite (finite in the usual sense) sets. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin41  |- FinIV  =  Fin

Proof of Theorem fin41
StepHypRef Expression
1 vex 3081 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
21domtriom 8724 . . . 4  |-  ( om  ~<_  x  <->  -.  x  ~<  om )
32con2bii 332 . . 3  |-  ( x 
~<  om  <->  -.  om  ~<_  x )
4 isfinite 7970 . . 3  |-  ( x  e.  Fin  <->  x  ~<  om )
5 isfin4-2 8595 . . . 4  |-  ( x  e.  _V  ->  (
x  e. FinIV 
<->  -.  om  ~<_  x ) )
61, 5ax-mp 5 . . 3  |-  ( x  e. FinIV  <->  -.  om  ~<_  x )
73, 4, 63bitr4ri 278 . 2  |-  ( x  e. FinIV  <-> 
x  e.  Fin )
87eqriv 2450 1  |- FinIV  =  Fin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078   class class class wbr 4401   omcom 6587    ~<_ cdom 7419    ~< csdm 7420   Fincfn 7421  FinIVcfin4 8561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-cc 8716
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-2o 7032  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-card 8221  df-cda 8449  df-fin4 8568
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator