MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin41 Structured version   Unicode version

Theorem fin41 8737
Description: Under countable choice, the IV-finite sets (Dedekind-finite) coincide with I-finite (finite in the usual sense) sets. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin41  |- FinIV  =  Fin

Proof of Theorem fin41
StepHypRef Expression
1 vex 3037 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
21domtriom 8736 . . . 4  |-  ( om  ~<_  x  <->  -.  x  ~<  om )
32con2bii 330 . . 3  |-  ( x 
~<  om  <->  -.  om  ~<_  x )
4 isfinite 7983 . . 3  |-  ( x  e.  Fin  <->  x  ~<  om )
5 isfin4-2 8607 . . . 4  |-  ( x  e.  _V  ->  (
x  e. FinIV 
<->  -.  om  ~<_  x ) )
61, 5ax-mp 5 . . 3  |-  ( x  e. FinIV  <->  -.  om  ~<_  x )
73, 4, 63bitr4ri 278 . 2  |-  ( x  e. FinIV  <-> 
x  e.  Fin )
87eqriv 2378 1  |- FinIV  =  Fin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    = wceq 1399    e. wcel 1826   _Vcvv 3034   class class class wbr 4367   omcom 6599    ~<_ cdom 7433    ~< csdm 7434   Fincfn 7435  FinIVcfin4 8573
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cc 8728
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-card 8233  df-cda 8461  df-fin4 8580
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator