Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fargshiftf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fargshiftf 26164
 Description: If a class is a function, then also its "shifted function" is a function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Nov-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
fargshift.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ↦ (𝐹‘(𝑥 + 1)))
Assertion
Ref Expression
fargshiftf ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → 𝐺:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐸
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem fargshiftf
StepHypRef Expression
1 ffn 5958 . . . 4 (𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸𝐹 Fn (1...𝑁))
2 fseq1hash 13026 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹 Fn (1...𝑁)) → (#‘𝐹) = 𝑁)
31, 2sylan2 490 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (#‘𝐹) = 𝑁)
4 eleq1 2676 . . . . . 6 (𝑁 = (#‘𝐹) → (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (#‘𝐹) ∈ ℕ0))
5 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑁 = (#‘𝐹) → (1...𝑁) = (1...(#‘𝐹)))
65feq2d 5944 . . . . . 6 (𝑁 = (#‘𝐹) → (𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸))
74, 6anbi12d 743 . . . . 5 (𝑁 = (#‘𝐹) → ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ↔ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸)))
87eqcoms 2618 . . . 4 ((#‘𝐹) = 𝑁 → ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ↔ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸)))
9 fargshiftlem 26162 . . . . . . 7 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝑥 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)))
10 ffvelrn 6265 . . . . . . . 8 ((𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ (𝑥 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹))) → (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ dom 𝐸)
1110expcom 450 . . . . . . 7 ((𝑥 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)) → (𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ dom 𝐸))
129, 11syl 17 . . . . . 6 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ dom 𝐸))
1312impancom 455 . . . . 5 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸) → (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ dom 𝐸))
1413ralrimiv 2948 . . . 4 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸) → ∀𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ dom 𝐸)
158, 14syl6bi 242 . . 3 ((#‘𝐹) = 𝑁 → ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → ∀𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ dom 𝐸))
163, 15mpcom 37 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → ∀𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ dom 𝐸)
17 fargshift.g . . 3 𝐺 = (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ↦ (𝐹‘(𝑥 + 1)))
1817fmpt 6289 . 2 (∀𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ dom 𝐸𝐺:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸)
1916, 18sylib 207 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → 𝐺:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  ℕ0cn0 11169  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980 This theorem is referenced by:  fargshiftf1  26165  fargshiftfo  26166
 Copyright terms: Public domain W3C validator