Theorem eulerpartlemgf 29768

Description: Lemma for eulerpart 29771: Images under 𝐺 have finite support. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerpart.p	⊢ 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 ℕ) ∣ ((◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
eulerpart.o	⊢ 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ (◡𝑔 “ ℕ) ¬ 2 ∥ 𝑛}
eulerpart.d	⊢ 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛) ≤ 1}
eulerpart.j	⊢ 𝐽 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
eulerpart.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥))
eulerpart.h	⊢ 𝐻 = {𝑟 ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑𝑚 𝐽) ∣ (𝑟 supp ∅) ∈ Fin}
eulerpart.m	⊢ 𝑀 = (𝑟 ∈ 𝐻 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (𝑟‘𝑥))})
eulerpart.r	⊢ 𝑅 = {𝑓 ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
eulerpart.t	⊢ 𝑇 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 ℕ) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ⊆ 𝐽}
eulerpart.g	⊢ 𝐺 = (𝑜 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↦ ((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝑜 ↾ 𝐽))))))

Assertion

Ref	Expression
eulerpartlemgf	⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (◡(𝐺‘𝐴) “ ℕ) ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝑟,𝐴,𝑜   𝑜,𝐹   𝑜,𝐻,𝑟   𝑓,𝐽   𝑛,𝑟,𝐽,𝑜,𝑥,𝑦   𝑜,𝑀,𝑟   𝑓,𝑁,𝑔,𝑥   𝑃,𝑔,𝑛   𝑅,𝑓,𝑜   𝑇,𝑓,𝑜

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑔,𝑘,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑘,𝑜,𝑟)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑧,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑧,𝑔,𝑘)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑦,𝑧,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)

Proof of Theorem eulerpartlemgf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerpart.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 ℕ) ∣ ((◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
2		eulerpart.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ (◡𝑔 “ ℕ) ¬ 2 ∥ 𝑛}
3		eulerpart.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛) ≤ 1}
4		eulerpart.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
5		eulerpart.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥))
6		eulerpart.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = {𝑟 ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑𝑚 𝐽) ∣ (𝑟 supp ∅) ∈ Fin}
7		eulerpart.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (𝑟 ∈ 𝐻 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (𝑟‘𝑥))})
8		eulerpart.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = {𝑓 ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
9		eulerpart.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 ℕ) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ⊆ 𝐽}
10		eulerpart.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑜 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↦ ((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝑜 ↾ 𝐽))))))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	eulerpartlemgv 29762	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (𝐺‘𝐴) = ((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽))))))
12	11	cnveqd 5220	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → ◡(𝐺‘𝐴) = ◡((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽))))))
13	12	imaeq1d 5384	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (◡(𝐺‘𝐴) “ {1}) = (◡((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽))))) “ {1}))
14		nnex 10903	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
15		imassrn 5396	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)))) ⊆ ran 𝐹
16	4, 5	oddpwdc 29743	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹:(𝐽 × ℕ0)–1-1-onto→ℕ
17		f1of 6050	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:(𝐽 × ℕ0)–1-1-onto→ℕ → 𝐹:(𝐽 × ℕ0)⟶ℕ)
18		frn 5966	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:(𝐽 × ℕ0)⟶ℕ → ran 𝐹 ⊆ ℕ)
19	16, 17, 18	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ ran 𝐹 ⊆ ℕ
20	15, 19	sstri 3577	. . . . 5 ⊢ (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)))) ⊆ ℕ
21		indpi1 29411	. . . . 5 ⊢ ((ℕ ∈ V ∧ (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)))) ⊆ ℕ) → (◡((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽))))) “ {1}) = (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)))))
22	14, 20, 21	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (◡((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽))))) “ {1}) = (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽))))
23	13, 22	syl6eq 2660	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (◡(𝐺‘𝐴) “ {1}) = (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)))))
24		ffun 5961	. . . . 5 ⊢ (𝐹:(𝐽 × ℕ0)⟶ℕ → Fun 𝐹)
25	16, 17, 24	mp2b 10	. . . 4 ⊢ Fun 𝐹
26		inss2 3796	. . . . 5 ⊢ (𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin) ⊆ Fin
27	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	eulerpartlemmf 29764	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) ∈ 𝐻)
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	eulerpartlem1 29756	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀:𝐻–1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin)
29		f1of 6050	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀:𝐻–1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin) → 𝑀:𝐻⟶(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀:𝐻⟶(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin)
31	30	ffvelrni 6266	. . . . . 6 ⊢ ((bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) ∈ 𝐻 → (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽))) ∈ (𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin))
32	27, 31	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽))) ∈ (𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin))
33	26, 32	sseldi 3566	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽))) ∈ Fin)
34		imafi 8142	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽))) ∈ Fin) → (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)))) ∈ Fin)
35	25, 33, 34	sylancr 694	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)))) ∈ Fin)
36	23, 35	eqeltrd 2688	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (◡(𝐺‘𝐴) “ {1}) ∈ Fin)
37	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	eulerpartgbij 29761	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺:(𝑇 ∩ 𝑅)–1-1-onto→(({0, 1} ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅)
38		f1of 6050	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺:(𝑇 ∩ 𝑅)–1-1-onto→(({0, 1} ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → 𝐺:(𝑇 ∩ 𝑅)⟶(({0, 1} ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅))
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺:(𝑇 ∩ 𝑅)⟶(({0, 1} ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅)
40	39	ffvelrni 6266	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (𝐺‘𝐴) ∈ (({0, 1} ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅))
41		elin 3758	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺‘𝐴) ∈ (({0, 1} ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ↔ ((𝐺‘𝐴) ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ) ∧ (𝐺‘𝐴) ∈ 𝑅))
42	41	simplbi 475	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺‘𝐴) ∈ (({0, 1} ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → (𝐺‘𝐴) ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ))
43		elmapi 7765	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺‘𝐴) ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ) → (𝐺‘𝐴):ℕ⟶{0, 1})
44	40, 42, 43	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (𝐺‘𝐴):ℕ⟶{0, 1})
45		ffun 5961	. . . . 5 ⊢ ((𝐺‘𝐴):ℕ⟶{0, 1} → Fun (𝐺‘𝐴))
46	44, 45	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → Fun (𝐺‘𝐴))
47		ssv 3588	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ⊆ V
48		dfn2 11182	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
49		ssdif 3707	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ⊆ V → (ℕ0 ∖ {0}) ⊆ (V ∖ {0}))
50	48, 49	syl5eqss 3612	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ⊆ V → ℕ ⊆ (V ∖ {0}))
51	47, 50	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℕ ⊆ (V ∖ {0})
52		sspreima 28827	. . . 4 ⊢ ((Fun (𝐺‘𝐴) ∧ ℕ ⊆ (V ∖ {0})) → (◡(𝐺‘𝐴) “ ℕ) ⊆ (◡(𝐺‘𝐴) “ (V ∖ {0})))
53	46, 51, 52	sylancl 693	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (◡(𝐺‘𝐴) “ ℕ) ⊆ (◡(𝐺‘𝐴) “ (V ∖ {0})))
54		fvex 6113	. . . . 5 ⊢ (𝐺‘𝐴) ∈ V
55		0nn0 11184	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
56		suppimacnv 7193	. . . . 5 ⊢ (((𝐺‘𝐴) ∈ V ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝐴) supp 0) = (◡(𝐺‘𝐴) “ (V ∖ {0})))
57	54, 55, 56	mp2an 704	. . . 4 ⊢ ((𝐺‘𝐴) supp 0) = (◡(𝐺‘𝐴) “ (V ∖ {0}))
58		0ne1 10965	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≠ 1
59		difprsn1 4271	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ≠ 1 → ({0, 1} ∖ {0}) = {1})
60	58, 59	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ({0, 1} ∖ {0}) = {1}
61	60	eqcomi 2619	. . . . . . 7 ⊢ {1} = ({0, 1} ∖ {0})
62	61	ffs2 28891	. . . . . 6 ⊢ ((ℕ ∈ V ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ (𝐺‘𝐴):ℕ⟶{0, 1}) → ((𝐺‘𝐴) supp 0) = (◡(𝐺‘𝐴) “ {1}))
63	14, 55, 62	mp3an12 1406	. . . . 5 ⊢ ((𝐺‘𝐴):ℕ⟶{0, 1} → ((𝐺‘𝐴) supp 0) = (◡(𝐺‘𝐴) “ {1}))
64	44, 63	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → ((𝐺‘𝐴) supp 0) = (◡(𝐺‘𝐴) “ {1}))
65	57, 64	syl5eqr 2658	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (◡(𝐺‘𝐴) “ (V ∖ {0})) = (◡(𝐺‘𝐴) “ {1}))
66	53, 65	sseqtrd 3604	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (◡(𝐺‘𝐴) “ ℕ) ⊆ (◡(𝐺‘𝐴) “ {1}))
67		ssfi 8065	. 2 ⊢ (((◡(𝐺‘𝐴) “ {1}) ∈ Fin ∧ (◡(𝐺‘𝐴) “ ℕ) ⊆ (◡(𝐺‘𝐴) “ {1})) → (◡(𝐺‘𝐴) “ ℕ) ∈ Fin)
68	36, 66, 67	syl2anc 691	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (◡(𝐺‘𝐴) “ ℕ) ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {cab 2596   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  {crab 2900  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  {csn 4125  {cpr 4127   class class class wbr 4583  {copab 4642   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  ^◡ccnv 5037  ran crn 5039   ↾ cres 5040   “ cima 5041   ∘ ccom 5042  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551   supp csupp 7182   ↑_𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820   ≤ cle 9954  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ₀cn0 11169  ↑cexp 12722  Σcsu 14264   ∥ cdvds 14821  bitscbits 14979  𝟭cind 29400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-ac2 9168  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-ac 8822  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-dvds 14822  df-bits 14982  df-ind 29401

This theorem is referenced by:  eulerpartlemgs2  29769