Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerpartlem1 29756
 Description: Lemma for eulerpart 29771. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Aug-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 ℕ) ∣ ((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
eulerpart.o 𝑂 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ (𝑔 “ ℕ) ¬ 2 ∥ 𝑛}
eulerpart.d 𝐷 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ≤ 1}
eulerpart.j 𝐽 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
eulerpart.f 𝐹 = (𝑥𝐽, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥))
eulerpart.h 𝐻 = {𝑟 ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑𝑚 𝐽) ∣ (𝑟 supp ∅) ∈ Fin}
eulerpart.m 𝑀 = (𝑟𝐻 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))})
Assertion
Ref Expression
eulerpartlem1 𝑀:𝐻1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑟,𝑦,𝐽   𝐻,𝑟
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)

Proof of Theorem eulerpartlem1
StepHypRef Expression
1 eulerpart.j . . . 4 𝐽 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
2 nnex 10903 . . . 4 ℕ ∈ V
31, 2rabex2 4742 . . 3 𝐽 ∈ V
4 nn0ex 11175 . . 3 0 ∈ V
5 eqid 2610 . . 3 (𝑟 ∈ (𝒫 ℕ0𝑚 𝐽) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))}) = (𝑟 ∈ (𝒫 ℕ0𝑚 𝐽) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))})
6 eulerpart.h . . 3 𝐻 = {𝑟 ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑𝑚 𝐽) ∣ (𝑟 supp ∅) ∈ Fin}
73, 4, 5, 6fpwrelmapffs 28897 . 2 ((𝑟 ∈ (𝒫 ℕ0𝑚 𝐽) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))}) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin)
8 eulerpart.m . . . 4 𝑀 = (𝑟𝐻 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))})
9 ssrab2 3650 . . . . . . 7 {𝑟 ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑𝑚 𝐽) ∣ (𝑟 supp ∅) ∈ Fin} ⊆ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑𝑚 𝐽)
104pwex 4774 . . . . . . . 8 𝒫 ℕ0 ∈ V
11 inss1 3795 . . . . . . . 8 (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 ℕ0
12 mapss 7786 . . . . . . . 8 ((𝒫 ℕ0 ∈ V ∧ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 ℕ0) → ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑𝑚 𝐽) ⊆ (𝒫 ℕ0𝑚 𝐽))
1310, 11, 12mp2an 704 . . . . . . 7 ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑𝑚 𝐽) ⊆ (𝒫 ℕ0𝑚 𝐽)
149, 13sstri 3577 . . . . . 6 {𝑟 ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑𝑚 𝐽) ∣ (𝑟 supp ∅) ∈ Fin} ⊆ (𝒫 ℕ0𝑚 𝐽)
156, 14eqsstri 3598 . . . . 5 𝐻 ⊆ (𝒫 ℕ0𝑚 𝐽)
16 resmpt 5369 . . . . 5 (𝐻 ⊆ (𝒫 ℕ0𝑚 𝐽) → ((𝑟 ∈ (𝒫 ℕ0𝑚 𝐽) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))}) ↾ 𝐻) = (𝑟𝐻 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))}))
1715, 16ax-mp 5 . . . 4 ((𝑟 ∈ (𝒫 ℕ0𝑚 𝐽) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))}) ↾ 𝐻) = (𝑟𝐻 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))})
188, 17eqtr4i 2635 . . 3 𝑀 = ((𝑟 ∈ (𝒫 ℕ0𝑚 𝐽) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))}) ↾ 𝐻)
19 f1oeq1 6040 . . 3 (𝑀 = ((𝑟 ∈ (𝒫 ℕ0𝑚 𝐽) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))}) ↾ 𝐻) → (𝑀:𝐻1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin) ↔ ((𝑟 ∈ (𝒫 ℕ0𝑚 𝐽) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))}) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin)))
2018, 19ax-mp 5 . 2 (𝑀:𝐻1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin) ↔ ((𝑟 ∈ (𝒫 ℕ0𝑚 𝐽) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))}) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin))
217, 20mpbir 220 1 𝑀:𝐻1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  {crab 2900  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108   class class class wbr 4583  {copab 4642   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  ◡ccnv 5037   ↾ cres 5040   “ cima 5041  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551   supp csupp 7182   ↑𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841  1c1 9816   · cmul 9820   ≤ cle 9954  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  ↑cexp 12722  Σcsu 14264   ∥ cdvds 14821 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-ac2 9168  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-fin 7845  df-card 8648  df-acn 8651  df-ac 8822  df-nn 10898  df-n0 11170 This theorem is referenced by:  eulerpartgbij  29761  eulerpartlemgvv  29765  eulerpartlemgf  29768
 Copyright terms: Public domain W3C validator