Theorem dvdssqf 24664

Description: A divisor of a squarefree number is squarefree. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvdssqf	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) → ((μ‘𝐴) ≠ 0 → (μ‘𝐵) ≠ 0))

Proof of Theorem dvdssqf

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1059	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ∥ 𝐴)
2		prmz 15227	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
3	2	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
4		zsqcl 12796	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → (𝑝↑2) ∈ ℤ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑2) ∈ ℤ)
6		simpl2 1058	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ ℕ)
7	6	nnzd 11357	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ ℤ)
8		simpl1 1057	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℕ)
9	8	nnzd 11357	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
10		dvdstr 14856	. . . . . 6 ⊢ (((𝑝↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (((𝑝↑2) ∥ 𝐵 ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) → (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
11	5, 7, 9, 10	syl3anc 1318	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑝↑2) ∥ 𝐵 ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) → (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
12	1, 11	mpan2d 706	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝↑2) ∥ 𝐵 → (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
13	12	reximdva 3000	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
14		isnsqf 24661	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → ((μ‘𝐵) = 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐵))
15	14	3ad2ant2 1076	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) → ((μ‘𝐵) = 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐵))
16		isnsqf 24661	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((μ‘𝐴) = 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
17	16	3ad2ant1 1075	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) → ((μ‘𝐴) = 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
18	13, 15, 17	3imtr4d 282	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) → ((μ‘𝐵) = 0 → (μ‘𝐴) = 0))
19	18	necon3d 2803	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐴) → ((μ‘𝐴) ≠ 0 → (μ‘𝐵) ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  ℕcn 10897  2c2 10947  ℤcz 11254  ↑cexp 12722   ∥ cdvds 14821  ℙcprime 15223  μcmu 24621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-dvds 14822  df-prm 15224  df-mu 24627

This theorem is referenced by: (None)